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5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第五章 三角函数
数学
学习目标
①了解两角差的余弦公式的推导过程.
②掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式.
③熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.
③会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式进行简单的三角函数的求值、化简、证明等.
学习重难点
重点：
掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、
正切公式、二倍角公式.

难点：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式的灵活运用.

课堂导入
问题
已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α+β，α?β的正弦、余弦吗?


下面，我们来探究cos(α?β)与角α，β的正弦、余弦之间的关系.
探究一　两角差的余弦公式
课堂探究
已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出 α?β 的余弦吗?
不妨令α≠2kπ+β，k∈Z
如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，
以x轴非负半轴为始边作角α，β，α?β，
它们的终边分别与单位圆相交于点
P1(cos α，sin α)，A1(cos β，sin β)，
P(cos(α?β)，sin(α?β)).
探究一　两角差的余弦公式
课堂探究
已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出 α?β 的余弦吗?
连接A1P1，AP.
若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，P1重合.
根据圆的旋转对称性可知，????????与????1????1重合，从而????????=????1????1，所以AP=A1P1.
根据两点间的距离公式，
得[cos(α?β)?1]2+sin2(α?β)=(cos α?cos β)2+(sin α?sin β)2，
化简得cos(α?β)=cos αcos β+sin αsin β
当α=2kπ+β(k∈Z)时，容易证明上式仍然成立.
?
探究一　两角差的余弦公式
课堂探究
已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出 α?β 的余弦吗?
当α=2kπ+β(k∈Z)时，容易证明上式仍然成立.
所以，对于任意角α，β有：
cos(α?β)=cos αcos β+sin αsin β
此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α?β的余弦之间的关系，
称为差角的余弦公式，简记作C(α?β).
课堂探究
证明 (1)cos(π2?α)=cosπ2cos α+sinπ2sin α=0+1×sin α=sin α.
(2)cos(π?α)=cos πcos α+sin πsin α=(?1)×cos α+0=?cos α.
?
例1　利用公式C(α?β)证明：
(1)cos(π2?α)=sin α；
(2)cos(π?α)=?cos α.
?
课堂探究
解 由sin α=45，α∈(π2，π)，
得cos α=?1?sin2????=?1?(45)?2=?35.
又由cos β=?513，β是第三象限角，
得sin β=?1?cos2????=?1?(?513)?2=?1213.
所以cos(α?β)=cos αcos β+sin αsin β=(?35)×(?513)+45×(?1213)=?3365.
?
例2　已知sin α=45，α∈(π2，π)，cos β=?513，β是第三象限角，求cos(α?β)的值.
?
由公式C(α?β)出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗?
探究二　两角和的余弦公式
课堂探究
由α+β=α?(?β)和公式C(α?β)，有
于是得到了两角和的余弦公式，简记作C(α+β) .
cos(α+β)=cos αcos β?sin αsin β(C(α+β))
cos(α+β)=cos [α?(?β)]
=cos αcos(?β)+sin αsin(?β)
=cos αcos β?sin αsin β
两角和的余弦公式
课堂探究
也就是说，和角余弦等于同名积之差，差角余弦等于同名积之和.
两角差的余弦公式：
余余正正
符号相反
cos(α?β)=cos αcos β+sin αsin β (C(α?β))
cos(α+β)=cos αcos β?sin αsin β (C(α+β))
两角和的余弦公式：
知识归纳
&(2)sin?(????+????)&=cos????2?(????+????)&=cos????2??????????&=cos?????2?????cos?????+sin?????2?????sin?????&=sin????cos?????+cos????sin?????
?
?
&(1)sin?(?????????)&=cos????2?(?????????)&=cos????2?????+????&=cos?????2?????cos??????sin?????2?????sin?????&=sin????cos??????cos????sin?????
?
探究三　两角和与差的正弦公式
由诱导公式五 sin?(????2?????)=cos?????，cos?(????2?????)=sin?????，可得：
?
课堂探究
&(2)sin?(????+????)&=cos????2+(????+????)&=cos????2+?????????&=cos????2+????cos?????sin?????2+????sin?????&=sin????cos?????+cos????sin?????
?
?
&(1)sin?(?????????)&=cos????2+(?????????)&=cos????2+?????????&=cos????2+????cos????+sin?????2+????sin?????&=sin????cos??????cos????sin?????
?
由诱导公式六 sin?(????2+????)=cos?????，cos?(????2+????)=sin?????，可得：
?
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探究三　两角和与差的正弦公式
课堂探究
知识归纳
也就是说，和角正弦等于异名积之和，差角正弦等于异名积之差.
两角和的正弦公式：
正余余正
符号相同
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β (S(α+β))
sin(α?β)=sin αcos β?cos αsin β (S(α?β))
两角差的正弦公式：
探究四　两角和与差的正切公式
根据推导经验，有
tan?(????+????)=sin?(????+????)cos?(????+????)=sin?????cos?????+cos?????sin?????cos?????cos??????sin?????sin?????=tan?????+tan?????1?tan?????tan?????
?
在上式中，用?????替换????，得到
tan?(?????????)=sin?(?????????)cos?(?????????)=sin?????cos??????cos?????sin?????cos?????cos?????+sin?????sin?????=tan??????tan?????1+tan?????tan?????
?
课堂探究
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知识归纳
思考： 式中的α，β ，α+β 可以是任意角吗?
两角和的正切公式：
分子同相加，
1减他们俩
tan(α+β)=tan????+tan????1?tan????tan???? (T(α+β))
?
tan(α?β)=tan?????tan????1+tan????tan???? (T(α?β))
?
两角差的正切公式：
分子同相减，
1加他们俩
课堂探究
解 由sin α=?35，α是第四象限角，
得cos α=1?sin2????=1?(?35)?2=45，
所以tan α=sin????cos????=?3545=?34.
于是有sin?（π4?????）=sin?π4cos??????cos?π4sin?????=22×45?22×（?35）=7210；
cos?（π4+????）=cos?π4cos??????sin?π4sin?????=22×45?22×（?35）=7210；
tan?（?????π4）=tanα?tanπ41+tanαtanπ4=tanα?11+tanα=?34?11+(?34)=?7.
?
例3　已知sin α=?35，α是第四象限角，求sin?(π4?????)，cos?(π4+????)，tan?(?????π4)的值.
?
课堂探究
由以上解答可以看到，在本题条件下有sin?(π4?????)=cos?(π4+????).
那么对于任意角α，此等式成立吗?
若成立，你会用几种方法予以证明?
?
问题思考
课堂探究
分析 和、差角公式把α±β的三角函数式转化成了α，β的三角函数式.
如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简.
例4　利用和(差)角公式计算下列各式的值：
(1)sin 72°cos 42°?cos 72°sin 42°；
(2)cos 20°cos 70°?sin 20°sin 70°；
(3)1+tan15°1?tan15°.
?
课堂探究
解 (1)由公式S(α?β)，得
sin 72°cos 42°?cos 72°sin 42°=sin(72°?42°)=sin 30°=12.
(2)由公式C(α+β)，得
cos 20°cos 70°?sin 20°sin 70°=cos(20°+70°)=cos 90°=0.
(3)由公式T(α+β)及tan 45°=1，得
1+tan15°1?tan15°=tan45°+tan15°1?tan45°tan15°=tan(45°+15°)=tan 60°=3.
?
在公式S(α+β)，C(α+β)，T(α+β)中，如果令β=α，可以得到什么样的公式?
探究五　二倍角的正弦、余弦、正切公式
课堂探究
两角和的正弦公式：
sin(α+β)=sin(α+α) =sin αcos α+cos αsin α =2sin αcos α =sin 2α.
cos(α+β) = cos(α+α) =cos αcos α?sin αsin α
=cos2α?sin2α=2cos2α?1=1?2sin2α =cos 2α.
两角和的余弦公式：
tan(α+β)= tan(α+α) = tan?????+tan?????1?tan?????tan??????=2tan?????1?tan2???? = tan 2α.
?
两角和的正切公式：
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知识归纳
二倍角的正弦公式：
sin 2α=2sin αcos α (S(2α))
cos 2α=cos2α?sin2α=2cos2α?1=1?2sin2α (C(2α))
二倍角的余弦公式：
tan 2α=2tan?????1?tan2???? (T(2α))
?
二倍角的正切公式：
课堂探究
解 由π4<α<π2，得π2<2α<π，
又sin 2α=513，所以cos 2α=?1?(513)?2=?1213.
于是sin 4α=sin[2×(2α)]=2sin 2αcos 2α=2×513×(?1213)=?120169；
cos 4α=cos[2×(2α)]=1?2sin22α=1?2×(513)2=119169；
tan 4α=sin4????cos4????=?120169×169119=?120119.
?
例5　已知sin 2α=513，π4<α<π2，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值.
?
课堂探究
解题技巧
应用二倍角公式化简(求值)的策略：
消除差异
课堂探究
解 因为x∈(0，π4)，所以π4?x∈(0，π4)，
又因为sin(π4?x)=513，所以cos(π4?x)=1213，
所以cos 2x=sin(π2?2x)=2sin(π4?x)cos(π4?x)=2×513×1213=120169.
?
已知sin(π4?x)=513，0?
【跟踪训练】
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1. cos 65°cos 35°+sin 65°sin 35°等于(　　)
A.cos 100° B.sin 100° C.32 D.12
?
解析 原式=cos(65°?35°)=cos 30°=32.
?
C
评价反馈
2. 若α是锐角，sin α=35，则cos(π4+α)等于(　　)
A.?210 B.210 C.?25 D.25
?
解析 因为α是锐角，sin α=35，
所以cos α=45，所以cos(π4+α)=22×45?22×35=210.
故选B.
?
B
评价反馈
3. 若锐角α，β满足cos α=35，cos(α+β)=?513，则cos β等于(　　)
A.3365 B.?3365 C.5475 D.?5475
?
解析 因为α，β为锐角，cos α=35，cos(α+β)=?513，
所以sin α=45，sin(α+β)=1213.
所以cos β=cos[(α+β)?α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=?513×35+1213×45=3365.
故选A.
?
A
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4. 计算3?tan15°1+3tan15°=　　　　　.?
?
解析 3?tan15°1+3tan15°=tan60°?tan15°1+tan60°tan15°=tan 45°=1.
?
1
评价反馈
5. 已知α，β均为锐角，sin α=55，cos β=1010，求α?β.
?
解 ∵α，β均为锐角，sin α=55，cos β=1010，
∴sin β=31010，cos α=255.
∵sin α∴sin(α?β)=sin αcos β?cos αsin β=55×1010?255×31010=?22，∴α?β=?π4.
?
课堂小结
六个公式之间的关系和推导
【和角公式】S(α+β)，C(α+β)，T(α+β)
【差角公式】 S(α?β)，C(α?β)，T(α?β)
以?????替换????
?
以?????
替换????
?
作 商
作 商
以?????替换????
?
S(α+β)
C(α+β)
C(α?β)
S(α?β)
T(α?β)
T(α+β)
知识构建
布置作业
1.完成教材第228~230页习题5.5.
2.预习下节课内容
谢谢大家

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