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1.5　全称量词与存在量词
第1课时
第一章　集合与常用逻辑用语
数学
学习目标
①通过丰富的实例,理解全称量词、全称量词命题和存在量词、存在量词命题的意义．
②会对全称量词命题和存在量词命题的真假作判断．
学习重难点
重点：
通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词和存在量词的意义．
难点：
全称量词命题和存在量词命题的真假的判定．
课堂导入
情境1
1.命题的定义是什么
2.真命题的定义是什么
3.假命题的定义是什么
一般的,在数学中把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题．
判断为真的命题．
判断为假的命题．
课堂探究
4.下列语句是命题吗 比较(1)和(3),(2)和(4),你有什么发现
(1)；
(2)是整数；
(3)对所有的,；
(4)对任意一个,是整数．
不是
是
是
不是
情境1
课堂探究
阅读教材第26页,思考：什么是全称量词 什么是全称量词命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中一般叫做全称量词,用符号“ ”表示．
含有全称量词的命题,叫做全称量词命题．
例如命题“对任意的,是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题．
探究一　全称量词
课堂探究
归纳新知
全称量词与全称量词命题
通常,将含有变量的语句用,,,······表示,变量 的范围用表示,则全称量词命题“对中任意一个 ,成立”可用符号简记为：
,
常见的全称量词有“一切”“每一个”“任给”“所有的”“全部的”“只要是”“任意的”“凡是”······
我不能判断真
假,不是命题
我能判断真假,而且是假命题！
课堂探究
思考问题
全称量词命题怎么判断真假
课堂探究
归纳新知
全称量词命题真假判断
全称量词命题
怎么判断我的真假呢
全称量词命题“,”
对集合中每一个元素,成立
真命题
在集合中找到一个元素,使得不成立
假命题
你为真,我要好好推导证明一下；你为假,我举个反例即可！
课堂探究
探究二　存在量词
下列语句是命题吗 比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系
(1)；
(2)能被和3整除；
(3)存在一个,使；
(4)至少有一个,能被和整除．
不是
是
是
不是
课堂探究
归纳新知
阅读教材第26页,思考：什么是存在量词 什么是存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中一般叫做存在量词,用符号“ ”表示．
含有存在量词的命题,叫做存在量词命题．
例如命题“有的平行四边形是菱形”“存在不是素数的奇数”等都是存在量词命题．
课堂探究
归纳新知
存在量词与存在量词命题
通常,将含有变量的语句用p(),q(),r(),······来表示,变量的范围用M表示．那么,存在量词命题“M中存在一个,p()成立”可用符号简记为
,．
常见的存在量词有“存在”“某一个”“任给”“对部分”“对某个”“对某些”“有一个”“有的”······
我不能判断真
假,不是命题
我能判断真假,而且是真命题！
课堂探究
思考问题
存在量词命题怎么判断真假
课堂探究
归纳新知
存在量词命题真假判断
存在量词命题“,”
存在量词命题
怎么判断我的真假呢
对集合中找不到任何元素,使成立
假命题
在集合中找到一个元素,使得成立
真命题
你为真,我举出一个例子即可；你为假,我得推导证明！
【例题1】
课堂探究
题型一　判断所给语句中的全称量词或存在量词
指出下列语句中的全称量词或存在量词：
(1)任一个质数都是奇数；
(2)所有实数的绝对值都是正数；
(3)有些相似三角形全等；
解 (1)语句“任一个质数都是奇数”中量词是任一个,为全称量词；
(2)语句“所有实数的绝对值都是正数”中量词是所有,是全称量词；
(3)语句“有些相似三角形全等”中量词是有些,是存在量词；
【例题1】
课堂探究
题型一　判断所给语句中的全称量词或存在量词
指出下列语句中的全称量词或存在量词：
(4)有的四边形有外接圆；
(5)任意一个矩形都是轴对称图形；(6)有一个数不能做除数．
解 (4)语句“有的四边形有外接圆”中量词是有的,是存在量词；
(5)语句“任意一个矩形都是轴对称图形”中量词是任意一个,是全称量词；
(6)语句“有一个数不能做除数”中量词是有一个,是存在量词．
课堂探究
【跟踪训练1】
指出下列语句中的全称量词或存在量词：
解 (1)“有的”是存在量词；
(2)“所有的”是全称量词；
(3)“每一个”是全称量词；
(4)“每一个”是全称量词．
(1)有的质数是偶数；
(2)所有的质数都是奇数；
(3)每一个负数的平方都是正数；
(4)每一个多边形的外角和都是360°．
【例题2】
课堂探究
题型二　判断命题是全称量词命题还是存在量词命题
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题：
解 (1)命题为存在量词命题；
(2)命题为全称量词命题；
(3)命题为存在量词命题；
(4)命题为全称量词命题．
(1)有的偶数是3的倍数；
(2)矩形的对角线相等；
(3)有的平行四边形的四个角都相等；
(4)平面内,与一个圆只有一个公共点的直线是该圆的切线．
课堂探究
【跟踪训练2】
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题：
解 (1)由题意,命题研究所有实数的性质,故为全称量词命题；
(2)由题意,命题研究任何数的性质,故为全称量词命题；
(3)由题意,命题研究任意一个实数的性质,故为全称量词命题；
(4)由题意,命题研究部分三角形的性质,故为存在量词命题．
(1)任何实数的平方都是非负数；
(2)任何数与0相乘,都等于0；
(3)任意一个实数都有相反数；
(4)有些三角形的三个内角都是锐角．
【例题3】
课堂探究
题型三　判断命题的真假
判断下列命题的真假：
解 由平行四边形的几何性质可知,任意一个平行四边形对边都相等,命题(1)为真命题；
　 正方形既是矩形又是菱形,命题(2)为真命题；
　 对于实系数方程+3=0,Δ=44×3= 8<0,该方程无实数解,命题(3)为假命题；
　 比它的倒数2小,命题(4)为真命题．
(1)任意一个平行四边形对边都相等；
(2)有的四边形既是矩形又是菱形；
(3)实系数方程都有实数解；
(4)有的正数比它的倒数小．
课堂探究
【跟踪训练3】
试判断下列命题的真假
解 (1)因为,所以所以此命题为真命题．
(2)当时,,所以此命题为假命题．
(3)因为,所以,所以不存在实数,使,所以此命题为假命题．
(4)因为或的约数,所以此命题为真命题．
(1),；
(2),；
(3),；
(4),使为的约数．
评价反馈
解析 选项A,含有全称量词“任意”,因为a2+b22a2b+2=(a1)2+(b1)2≥0,所以A是假命题；　
　选项B,叙述上没有全称量词,实际上是指“所有的”,菱形的对角线不一定相等,所以B是假命题；
　选项C,是存在量词命题；
　选项D,叙述上没有全称量词,实际上是指“所有的”,一次函数在R上或为增函数,或为减函数,故D是真命题．故选D．
1. 下列命题中,既是全称量词命题又是真命题的是 (　　)
A.对任意的a,b∈R,都有a2+b22a2b+2<0
B.菱形的两条对角线相等
C. x∈R,=x
D.一次函数在R上是单调函数
D
评价反馈
解析 x∈R,x2≥0,故排除A；
　取x=0,则x2+2x=0,故排除B；
　因为≥0,故排除C；
　取x=2,则x(x1)=6,故D正确．
2. 下列命题是真命题的是(　　)
A. x∈R,x2>0
B. x∈R,x2+2x>0
C. x∈R,<0
D. x∈R,x(x 1)=6
D
评价反馈
3. 下列四个命题：
① x∈R,x2 x+≥0； ② x∈R,x2+2x+3<0；
③ n∈R,n2≥n； ④至少有一个实数x,使得x3+1=0．
其中真命题的序号是(　　)
A.①③ B.②③ C.②④ D.①④
D
解析 对于①,x2x+=(x)2≥0,当x=时等号成立,①为真命题,
　对于②,由于x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0,②为假命题,
　对于③,当n=时,n2　对于④,当x=1时,x3+1=0,④为真命题,
　所以真命题的序号为①④．故选D．
评价反馈
解析 由题意,对任意实数,,
　对任意实数都成立,
　．
4. 已知是常数,命题p：任意实数x,使得．若命题是真命题,则实数的取值范围为__________．
评价反馈
5. 若 m≥2,n≥3,可使m2+n2+a≥n2m恒成立,则实数a的取值范围为　　　　　．
a≥5
解析 当m≥2时,m2+2m=(m+1)21≥1,当n≥3时,n2n=(n )2≥6,
　故对 m≥2,n≥3,m2+n2n+2m≥5,
　由题可得a≤m2+n2n+2m,对 m≥2,n≥3恒成立,则a≤5,解得a≥5．
课堂小结
我们今天都讲了哪些知识
问题思考
1.全称量词命题：含有全称量词的命题,叫做全称量词命题．全称量词命题的表述形式：对中任意一个,有成立,可简记为, ．
2.存在量词命题：含有存在量词的命题,叫做存在量词命题．存在量词命题的表述形式：存在中的元素, 成立,可简记为, ．
布置作业
完成教材第28页练习第1,2题．
谢谢大家

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