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(共29张PPT)
1.4　充分条件和必要条件
第一章　集合与常用逻辑用语
数学
学习目标
①理解充分条件的意义及判定定理的充分条件的关系；理解必要条件的意义及性质定理与必要条件的关系．
②理解充要条件的意义及数学定义与充要条件的关系；初步使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流,提升逻辑推理素养．
学习重难点
重点：
正确理解充分条件、必要条件及充要条件的概念．
难点：
能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件．
课堂导入
情境1
在初中,我们已经对命题有了初步的认识．
一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题．
记p：x>2,q：x>0．
判断命题“若x>2,则x>0”的真假．
“若x>2,则x>0”是真命题．
0
2
1
课堂导入
情境2
下列“若p,则q”形式的命题中,哪些是真命题 哪些是假命题
(1)若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形；
(2)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等；
(3)若,则；
(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b．
真
假
假
真
课堂探究
探究一　充分条件与必要条件
　　一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q．这时,我们就说,由p可以推出q,记作p q,并且说,p是q的充分条件,q是p的必要条件．
　　如果“若p,则q”为假命题,那么由条件p不能推出结论q,记作pq．此时,我们就说p不是q的充分条件,q不是p的必要条件．
课堂探究
探究一　充分条件与必要条件
命题真假 “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题
推出关系
条件关系
p q
pq
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
课堂探究
小试牛刀
【例题1】
(1)若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形；
(2)若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似；
(3)若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直；
这是一条平行四边形的判定定理,p q,所以p是q的充分条件．
这是一条相似三角形的判定定理,p q,所以p是q的充分条件．
这是一条菱形的性质定理,p q,所以p是q的充分条件．
下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件
课堂探究
小试牛刀
【例题1】
(4)若x2＝1,则x＝1；
由于(－1)2＝1,但－1≠1,pq,所以p不是q的充分条件．
下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件
(5)若a＝b,则ac＝bc；
由等式的性质知,p q,所以p是q的充分条件．
(6)若x,y为无理数,则xy为无理数．
为无理数,但＝2为有理数,pq, 所以p不是q的充分条件．
思考问题
例1中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件,这样的充分条件唯一吗 若不唯一,那么你能给出不同的充分条件吗
课堂探究
四边形的两组对边分别相等；四边形的一组对边平行且相等；
四边形的两条对角线互相平分．
你能说出几个两条直线平行的充分条件
一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个
充分条件．
课堂探究
小试牛刀
【例题2】
下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件
(1)若四边形为平行四边形,则这个四边形的两组对角分别相等；
这是一条平行四边形的性质定理,p q,所以q是p的必要条件．
(2)若两个三角形相似,则这两个三角形的三边成比例；
这是一条相似三角形的性质定理,p q,所以q是p的必要条件．
(3)若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形．
如图,四边形ABCD的对角线互相垂直,但它不是菱形,p q,
所以q不是p的必要条件．
课堂探究
小试牛刀
【例题2】
下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件
(4)若x＝1,则x2＝1；
显然,p q,所以q不是p的必要条件．
(5)若ac＝bc,则a＝b；
由于(－1)×0＝1×0,但－1≠1,p q,所以q不是p的必要条件．
(6)若xy为无理数,则x,y为无理数.
由于1× 为无理数,但1,不全是无理数,p q,所以q不是p的必要条件．
思考问题
例2中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件,这样的必要条件唯一吗 若不唯一,你能给出几个其它的必要条件吗
课堂探究
四边形的两组对边分别相等；四边形的一组对边平行且相等；
四边形的两条对角线互相平分．
一般地,数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个
必要条件．
课堂探究
探究二　充要条件
思考：下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等；
(2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等；
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根,则ac<0；
(4)若A∪B是空集,则A与B均是空集．
命题(1)、(4)和它们的逆命题都是真命题；
命题(2)是真命题,但它的逆命题是假命题；
命题(3)是假命题,但它的逆命题是真命题．
课堂探究
探究二　充要条件
　　如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p q又有q p,就记作p q．
　　此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件．
　　显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件．
课堂探究
小试牛刀
【例题3】
(1)p：四边形是正方形,q：四边形的对角线互相垂直且平分；
下列各题中,哪些p是q的充要条件
因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形,所以q p,所以p不是q的充要条件．
(2)p：两个三角形相似,q：两个三角形三边成比例；
因为“若p,则q”是相似三角形的性质定理,“若q,则p”是相似三角形的判定定理,所以它们均是真命题,即p q,所以p是q的充要条件．
课堂探究
小试牛刀
【例题3】
(3)p：xy>0,q：x>0,y>0；
下列各题中,哪些p是q的充要条件
因为xy>0时,x>0,y>0不一定成立,所以p q,所以p不是q的充要条件．
(4)p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根,q：a＋b＋c＝0(a≠0)
因为“若p,则q”与“若q,则p”均为真命题,即p q,所以p是q的充要条件．
思考问题
通过上面的学习,你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗
课堂探究
四边形的两组对角分别相等；四边形的两组对边分别相等；四边形的一组
对边平行且相等；四边形的对角线互相平分；四边形的两组对边分别平行．
课堂探究
归纳新知
命题 真假 “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题 “若p,则q”与逆命题“若q,则p”均为真命题
推出 关系
条件 关系
p q
p是q的充分条件,q是p的必要条件
pq
p q
p不是q的充分条件,q不是p的必要条件
p是q的充要条件,q是p的充要条件
评价反馈
1. 已知以下“若p,则q”形式的命题：
①若p：|x|＝|y|,则q：x＝y；
②设a,b是实数,若p：a＋b>0,则q：ab>0；
③若p：x∈A＝{x|0④若p：x∈A＝{x|x＝6k,k∈Z},则q：x∈B＝{x|x＝3k,k∈Z}．
其中p是q的充分条件的命题是_______________；p不是q的充分条件的命题是___________；q是p的必要条件的命题是__________；q不是p的必要条件的命题是____________． (填序号)
③④
①②
③④
①②
解析 ①由已知|x|＝|y|可能有x＝y或x＝－y,p q,所以p不是q的充分条件,q不是p的必要条件．
评价反馈
②当a＝3,b＝－1时,a＋b>0,但ab<0,p q,所以p不是q的充分条件,q不是p的必要条件．
③当x∈A时,必有x∈B,p q,所以p是q的充分条件,q是p的必要条件．
④当x∈A时,必有x∈B,p q,所以p是q的充分条件,q是p的必要条件．
综上,p是q的充分条件的命题是③④,p不是q的充分条件的命题是①②,q是p的必要条件的命题是③④,q不是p的必要条件的命题是①②．
②设a,b是实数,若p：a＋b>0,则q：ab>0；
③若p：x∈A＝{x|0④若p：x∈A＝{x|x＝6k,k∈Z},则q：x∈B＝{x|x＝3k,k∈Z}．
评价反馈
2. 若a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析 由a>0且b>0可得a＋b>0且ab>0,
由a＋b>0有a,b至少一个为正,又ab>0可得a,b同号,两者同时成立,则必有a>0且b>0,故选C．
C
评价反馈
3. 已知p:1－x<0,q: x>a,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________．
解析 由题意知p：x>1,q：x>a,若p是q的充分不必要条件,则p q,但q p,
也就是说,p对应集合是q对应集合的真子集,所以a<1．
{a|a<1}
评价反馈
4. 如果集合A＝{x},B＝{x|0A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析 因为A＝{x|0所以m∈A m∈B,但是m∈B m∈A,所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．
故选A．
A
评价反馈
5. 若A是B的充分不必要条件,C是B的必要不充分条件,D是C的充要条件,则D是A的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析 由题意得
B
所以D是A的必要不充分条件,故选B.
课堂小结
1. 充分条件、必要条件、充要条件的概念．
2. 判断充分、必要条件的基本步骤：
①认清条件和结论；
②考察 p q 和 p q 是否能成立．
3. 判别技巧：
① 可先简化命题；
② 否定一个命题只要举出一个反例即可．
课堂小结
充分必要条件
命题
充分必要条件与集合的关系
注意
可以判断真假的陈述句
真命题：判断为真的语句为真命题；判断为假的语句为假命题
小范围可以推出大范围．大范围不可以推出小范围
集合关系
若p q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 pq
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p 且
布置作业
完成教材第22页练习．
完成教材第22~23页习题1.4．
谢谢大家

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