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本章小结
第一章　集合与常用逻辑用语
数学
学习目标
①能够在现实情境中,概括出数学对象的一般特征,并用集合语言予以表达．
②初步学会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达数学研究对象,并能进行转换．
③掌握集合的基本关系与基本运算．
⑤重点提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养．
④能够借助常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流,体会常用逻辑用语在数学中的作用．
学习重难点
重点：
集合的关系与运算,常用逻辑用语．
难点：
已知两个集合间的关系求参数以及充分条件、必要条件的应用．
课堂导入
易错闯关
1.(多选题)下列结论错误的是(　 　)
A
B.若则或
C.对于任意两个集合A,B,关系(A∩B) (A∪B)恒成立
D.含有n个元素的集合有2n个真子集
ABD
2.(多选题)下列结论错误的是(　 　)
A.若已知p：x>1和q：x≥1,则p是q的充分不必要条件
B.“长方形的对角线相等”是存在量词命题
C.当q是p的必要条件时,p是q的充分条件
D.
BD
课堂导入
易错闯关
3.若集合A={x| 3A∪B=　　　 　　．
4.若命题p： a∈R,一次函数y=x+a的图象经过原点,则
p：　　　　　　　　　　　　　　　　　　；是　　命题(填“真”或“假”)．
a∈R,一次函数y=x+a的图象不经过原点
假
课堂探究
考点一　集合间的基本关系
元素与集合
1．集合中元素的三个特性：①_______、② _______ 、③ _______ ．
2．集合中元素与集合的关系
元素与集合之间的关系有④ _____和⑤ _______两种,表示符号为⑥ ___和⑦ ___．
互异性
确定性
无序性
属于
不属于
∈

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考点一　集合间的基本关系
3．常见集合的符号表示
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理 数集 实数集
表示 ⑧_______ ⑨_________ ⑩_______ _______ ____
N*或N＋
4.集合的表示法： 、 、 ．
列举法
描述法
Venn图
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考点一　集合间的基本关系
表示关系　　　 定义 记法
集合 间的 基本 关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 _____________
子集 A中任意一元素均为B中的元素 _____________
真子集 A中任意一元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素A中没有 _____________
A＝B
A B或B A
A B或B A
空集 空集是任何集合的子集 _____________
空集是任何 ________的真子集 _____________
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考点一　集合间的基本关系
非空集合
B(B≠ )
课堂探究
考点一　集合间的基本关系
【例题1】
已知集合,若,则实数的取值范围是(　　)
A B.
C D
解析 在数轴上标出A,B两集合如图所示,

结合数轴知,若A B,则a≥4．
C
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归纳总结　
集合间的基本关系的关键点
(1)：空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．
(2)端点值：已知两集合间的关系求参数的取值范围时,关键是将条件转化为集合间的关系,进而转化为参数所满足的条件,常用数轴解决此类问题,解答时要注意端点值的取舍．
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考点二　集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号 表示 __________ __________
图形 表示
意义
A∪B
A
A∪B
,或}
,且}
,且}
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考点二　集合的基本运算
性质 　　

A B
A
A

A B



A
(A)∩ (B)
(A)∪(B)

A
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考点二　集合的基本运算
【例题2】
设全集,为实数．
(1)分别求A∩B,A∪(B)；
(2)若B∩C=C,求a的取值范围．
解 (1)因为A={x|1≤x≤3},B={x|2所以A∩B={x|2课堂探究
考点二　集合的基本运算
【例题2】
(1)分别求A∩B,A∪(B)；
(2)若B∩C=C,求a的取值范围．
解 (2)因为B∩C=C,所以C B,因为B={x|2若C=,则a+1所以所以2故a的取值范围为{a|2设全集,为实数．
课堂探究
归纳总结　
集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
课堂探究
集合关系和运算中的参数问题
　　根据集合间关系求参数范围时,要深刻理解子集的概念,把形如A B的问题转化为A B或A＝B,进而列出不等式组,使问题得以解决．在建立不等式过程中,可借助数轴以形促数,化抽象为具体．要注意作图准确,分类全面．
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考点三　数形结合在集合的基本运算中的应用
【例题3】
已知集合M={(x,y)|y=},N={(x,y)|y=x+b}且M∩N=,求实数b的取值范围．
解 点集M是一个半圆弧,点集N是随b变化的一组平行直线．
,两点集M与N无公共点,
由图象可知,直线在与外侧(不包括,)时,满足,．
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考点四　全称量词命题与存在量词命题
【例题4】
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,请写出它们的否定,并判断其真假：
解 (1)由于命题中含有全称量词“任意的”,该命题是全称量词命题,所以其否定为“ x∈R,使x2+x+1=0”．
因为Δ= 3<0,所以方程x2+x+1=0无实数解,此命题为假命题．
(2)由于命题中含有存在量词“ ”,该命题是存在量词命题,所以其否定为“ x∈R,有x2+3x+5>0”．
因为Δ= 11<0,所以 x∈R,x2+3x+5>0成立,此命题是真命题．
(1)p：对任意的x∈R,x2+x+1≠0都成立；
(2)q： x∈R,使x2+3x+5≤0．
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归纳总结　
对全称量词命题和存在量词命题否定的步骤和方法
(1)确定类型：是存在量词命题还是全称量词命题；
(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词,把存在量词换为恰当的全称量词；
(3)否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
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考点五　充要条件的判断
【例题5】
指出下列各组命题中,是的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一种作答)．
解 (1),
．
(1)在△ABC中,p：∠A+∠C=2∠B,q：∠B=60°；
(2)对于实数x,y,p：x+y≠8,q：x≠2或y≠6；
(3)在△ABC中,p：sin A>sin B,q：tan A>tan B．
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考点五　充要条件的判断
【例题5】
指出下列各组命题中,是的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一种作答)．
(1)在△ABC中,p：∠A+∠C=2∠B,q：∠B=60°；
(2)对于实数x,y,p：x+y≠8,q：x≠2或y≠6；
(3)在△ABC中,p：sin A>sin B,q：tan A>tan B．
解 (2)∵命题“若x=2且y=6,则x+y=8”是真命题,即 q p,∴p q；
命题“若x+y=8,则x=2且y=6”是假命题,即 p q,∴q p．
故p是q的充分不必要条件．
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考点五　充要条件的判断
【例题5】
指出下列各组命题中,是的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一种作答)．
(1)在△ABC中,p：∠A+∠C=2∠B,q：∠B=60°；
(2)对于实数x,y,p：x+y≠8,q：x≠2或y≠6；
(3)在△ABC中,p：sin A>sin B,q：tan A>tan B．
解 (3)取A=120°,B=30°,p q；取A=30°,B=120°,q p．
故p是q的既不充分也不必要条件．
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归纳总结　
1．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：
(1)充分不必要条件,即,而．
(2)必要不充分条件,即,而．
(3)充要条件,既有,又有．
(4)既不充分也不必要条件,既有,又有．
课堂探究
归纳总结　
2．充分条件与必要条件的判断．
(1)直接利用定义判断：即“若成立,则是的充分条件,是的必要条件”．(条件与结论是相对的)
(2)利用等价命题的关系判断：“”的等价命题是“”即“若”成立,则是的充分条件,是的必要条件．
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合,那么若,则是的充分条件；若,则是的必要条件；若,则是的充要条件．
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考点六　充分条件与必要条件的应用
【例题6】
已知集合,,且是否存在实数使得是的___________．若存在实数,求出的取值范围；若不存在,请说明理由．
解 若选择①,即x∈P是x∈S的充分不必要条件,
则1m≤1+m且(两个等号不同时成立),解得m≥3,
故实数m的取值范围是{m|m≥3}．
请从如下三个条件选择一个条件补充到上面的横线上：①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件．
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考点六　充分条件与必要条件的应用
【例题6】
解 若选择②,即x∈P是x∈S的必要不充分条件．
则1 m≤1+m且两个等号不同时成立),解得m=0．
综上,实数m=0．
请从如下三个条件选择一个条件补充到上面的横线上：①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件．
已知集合,,且是否存在实数使得是的___________．若存在实数,求出的取值范围；若不存在,请说明理由．
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考点六　充分条件与必要条件的应用
【例题6】
解 若选择③,即x∈P是x∈S的充要条件,
则P=S,即无解,则不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件．
请从如下三个条件选择一个条件补充到上面的横线上：①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件．
已知集合,,且是否存在实数使得是的___________．若存在实数,求出的取值范围；若不存在,请说明理由．
课堂探究
归纳总结　
　　1.充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上,解题时需注意：
　　把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
　　2.要注意端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象．
课堂小结
布置作业
完成教材第34~35页复习参考题1．
谢谢大家

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