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2.1　等式性质与不等式性质
第2课时
第二章 一元二次函数、方程和不等式
数学
学习目标
①通过回忆和再现初中所学的等式性质,寻找共性和差异进一步探究不等式的基本性质．
②理解不等式的基本性质,会用不等式的基本性质解决有关问题．
重点：
　　不等式的基本性质,等式与不等式的共性与差异．
难点：
　　类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法,研究不等式的基本性质；利用不等式的基本性质证明不等式．
学习重难点
课堂导入
复习情境
不等式与等式都是对大小关系的刻画,所以要想知道不等式有哪些基本性质,可以从等式的性质及其研究方法中获得启发．
那么等式有哪些性质呢
我比你大三岁
那再过三年,我就比你大了
生活中会出现这样的情况吗
课堂探究
探究一　等式的基本性质
★【对称性】如果,那么；
★【传递性】如果,,那么；
★【加减性】如果,那么；
★【同乘性】如果,那么；
★【同除性】如果,,那么．
相等关系自身的特性．
从运算的角度提出的,反映了等式在运算中可保持的不变性．
思考1：你能把等式的基本性质分一下类吗
课堂探究
探究一　等式的基本性质
我成立,你不一定成立！
为什么啊
c≠0时,你成立；c=0时,你不一定成立！
时,我也成立！
那可不一定,你是不是成立,得问问c,c=0时,你就不成立！
切!
课堂探究
(多选题)下列运用等式性质进行的变形中,正确的是( )
A. 如果a=b,那么a+c=b c
B. 如果,那么a=b
C. 如果ac=bc,那么a=b
D. 如果a=b,b=c,c=d,那么a=d
小试牛刀
解析 选项A,由等式的性质,得如果a=b,那么a+c=b+c成立,而a+c=b c只有当c等于0时才成立,不正确；B正确；选项C,当c=0时不一定成立,不正确；选项D,如果a=b,b=c,c=d,那么a=d,正确．故选BD．
BD
课堂探究
【例题1】
若3a=5b(,则通过正确的等式变形不能得到的是( )
A. B. 2a=5ba
C. 3a5b=0 D.
A
课堂探究
探究二　不等式的基本性质
★【对称性】如果,那么．即．
★【传递性】如果,,那么．即,．
证明 ．
　　 ．
　　如果传递的时候两个不等式只有一个带等号,那么等号是传递不过去的．只有两个不等式都带等号,等号才能传递过去．
例如：
如果且,那么只能得到,无法得到；
如果且,那么只能得到,无法得到；
如果且,那么可以得到,此时有．
课堂探究
探究二　不等式的基本性质
★【可加性】如果,那么 ．
　　　　　　不等式两边同时加上一个数,不变号．
证明 如图,把数轴上的两个点A与B同时沿相同方向移动相等的距离,得到另两个点A1与B1,A与B和A1与B1的左右位置关系不会改变．用不等式的语言表示,就是上述性质．
课堂探究
探究二　不等式的基本性质
★【可乘性】如果,,那么；
　　　　　　不等式两边同时乘上一个正数,不变号；
　　　　　　如果,,那么．
　　　　　　不等式两边同时乘上一个负数,要变号．
移项法则：由【可加性】可得,a+b>c a+b+( b)>c+( b) a>c b．
这表明,不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边．
课堂探究
小试牛刀
【例题2】
若a,b,c∈R,则下列命题正确的是( )
A.若a>b,则ac2>bc2 B.若,则a>b
C.若a>b,c>b,则a>c D.若a> b,则c a解析 选项A,若c=0,则A不成立；
选项B,若c<0,则B不成立；
选项C,若a=4,b=2,c=5,显然不成立；
选项D,若a> b,则 aD
课堂探究
探究二　不等式的基本性质
★【同向可加性】如果,,那么；
　　　　　　　　如果,,那么；
　　　　　　　　如果,,那么．
★【同向同正可乘性】如果, ,那么．
★【同正可乘方性】如果,那么．
★【同正数开平方性】如果a>b>0,那么．
只有一个等式有等号也是传递不过去的．
我的等号左右能对应加减乘除(除数不为0),你行吗
等式
我只有同向可加性,同向可乘还必须保证是正数!
不等式
课堂探究
小试牛刀
【例题3】
下列命题为真命题的是( )
A.若ac>bc,则a>b B.若a2>b2,则a>b
C.若,则a解析 由ac>bc,当c<0时,有a若a2>b2,不一定有a>b,如( 3)2>( 2)2, 3< 2,选项B不符合题意；
若,不一定有a ,2> 3,选项C不符合题意；
若,则(2<(2,即aD
课堂探究
学以致用——求范围
【例题4】
已知1解 因为1即 7又因为,所以=2,
即<2,即的取值范围．
课堂探究
学以致用——求范围
【小结】
求含字母的数(或式子)的取值范围时的注意事项：
1. 注意题设中的条件；
2. 要正确使用不等式的性质：
(1)两个同方向的不等式可加不可减；
(2)两个正的同向不等式可乘不可除．
课堂探究
【跟踪训练1】
已知≤α<β≤,求满足的取值范围．
解 ∵≤α<β≤,∴,,
两式相加,得,即的取值范围为．
又,∴≤,
∴,又知α<β,∴<0．
故<0,即的取值范围为．
课堂探究
证明不等式
已知c>a>b>0,求证：．
证明 ∵c>a>b>0,∴ca>0,cb>0．
∵a>b>0,∴,又c>0,∴,
∴,又c－a>0,c－b>0,∴．
【例题5】
课堂探究
【小结】
1. 利用不等式性质解决此类问题,一定要理解、记忆不等式性质并注意在解题中灵活、准确地加以应用．
2. 应用不等式的性质进行推导时,注意：
(1)紧扣不等式的性质成立的条件；
(2)不可省略条件或跳步推导；
(3)不能随意构造性质与法则．
3. 倒数原则：①a>b>0 ；②b课堂探究
【跟踪训练2】
已知a>b>0,c(1)；(2)．
证明 (1)∵c　　 ∴c>d>0．
∵a>b>0,
　　 ∴ac>bd>0,
　　 ∴0<．
　　 又e<0,
∴．
(2)∵cd>0．
又a>b>0,∴ac>bd>0．
∴(ac)2>(bd)2>0．
两边同乘,得．
又e<0,∴．
1. 若a>b>0,cA. B. C. D.
评价反馈
解析 (方法1)∵cd>0,∴>0．
又a>b>0,∴,∴．
(方法2)令a=3,b=2,c=3,d=2,
则=1,=1,排除选项A,B．
∵==,∴,排除选项C．
D
2. 如果a>b>0,c>d>0,那么下列不等式中不正确的是( )
A. ad>bc B. < C. a+d>b+c D. ac>bd
评价反馈
解析 由已知及不等式的性质可得a+c>b+d,
即ad>bc,所以A正确；
由c>d>0,得>0,又a>b>0,所以,<,即B正确；
显然D正确,因此不正确的选项是C．
C
3. 若1<α<β<1,则下列各式中恒成立的是( )
A.2<αβ<0 B.2<αβ<1
C.1<αβ<0 D.1<αβ<1
评价反馈
解析 由1<α<1,1<β<1,得1<β<1,2<αβ<2,但α<β,
可知2<αβ<0．故选A．
A
4. 能说明“若a>b,则”为假命题的一组a,b的值依次为　　　　　　　．
(答案不唯一)
评价反馈
解析“若a>b,则”是真命题,则ab>0,因此举例只需使得“ab>0” 不成立且a>b即可．
5. 已知a,b,x,y都是正数,且,x>y,求证：．
评价反馈
证明 ∵a,b,x,y都是正数,且,x>y,
　　 ∴>0,∴0<,
　　 ∴+1<+1,即0<,
　　 ∴．
课堂小结
1. 基础知识归纳
(1)等式的基本性质；
(2)不等式的基本性质．
在应用不等式性质时,一定搞清他们的成立前提条件,不可强化或者弱化成立条件．
2. 思想方法总结：数形结合思想、类比法．
3. 误区警示：忽视不等式基本性质中的条件；混淆不等式的基本性质．
4. 要注意“箭头”是单项还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性．
布置作业
认真整理本节所讲,梳理知识脉络,完成学案．
谢谢大家