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(共43张PPT)
2.2　基本不等式
第二章　一元二次函数、方程和不等式
数学
学习目标
①理解基本不等式以及使用基本不等式的条件．
②结合具体实例,会用基本不等式解决简单的最值问题．
学习重难点
重点：
基本不等式的定义、证明方法和几何解释,用基本不等式解决简单的最值问题．
难点：
基本不等式的几何解释,用基本不等式解决简单的最值问题．
课堂导入
2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标
思考1：这图案中含有怎样的几何图形
思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗
情境1
课堂导入
弦图：三国时期吴国的数学家赵爽,用弦图来证明勾股定理．
证明：4个直角三角形的面积分别为,
正方形的面积为 ．
,
,
．(勾股定理)
情境2
由正方形面积大于4个直角三角形的面积和,得：．
课堂导入
情境2
对于, R,有,当且仅当时,等号成立．
不等式恒等变形：
, R,有,当且仅当时,等号成立．
, R,有,当且仅当时,等号成立．
不等式特殊变形：
如果,,用和分别代替上式中的,可得 ,当且仅当时,等号成立．
课堂探究
探究一　基本不等式
1. 算术平均数与几何平均数
对于正数,通常称叫做的算术平均数,
叫做的几何平均数．
课堂探究
探究一　基本不等式
2. 基本不等式
当时,有,(1)
当且仅当时,等号成立．
通常称不等式(1)为基本不等式．
基本不等式表明：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
课堂探究
探究二　基本不等式的条件
思考1　基本不等式中的只能是具体的数吗
提示　既可以是具体的数,也可以是代数式,只要满足就可以．
思考2　基本不等式的叙述中,“正数”二字能省略吗
提示　不能．如时,基本不等式不成立．
思考3　“当且仅当时,等号成立”的含义是什么
提示　当时,
课堂探究
探究三　基本不等式的证明
证明：因为,都是正数,
所以≥0,
即,当且仅当( ,即时,等号成立．
思考4　你能证明基本不等式成立吗
比较法
课堂探究
探究三　基本不等式的证明
证明：要证,
只要证,
要证上式,只要证,
要证上式,只要证,
要证上式,只要证,
显然,成立,当且仅当a=b时,等号成立．
思考4　你能证明基本不等式成立吗
分析法
课堂探究
探究三　基本不等式的证明
证明：因为,
所以2,
所以,即,
当且仅当(,即时,等号成立．
思考4　你能证明基本不等式成立吗
综合法
课堂探究
探究四　基本不等式的变形
①根据不等式的性质可以变形如下：
若则当且仅当时,等号成立．
②根据不等式的可乘方性可以变形如下：
若则,当且仅当时,等号成立．
课堂探究
探究五　基本不等式的几何解释
在右图中,是圆的直径,是上一点,．
过点C作垂直于的弦,连接,．
你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗
可证,因此．
由于小于或等于圆的半径,
所以用不等式表示为：．
显然,当且仅当点与圆心重合,即当时,等号成立．
基本不等式的几何意义：在同一个圆中,半径不小于半弦．
A.①②　　　B.①③ C.②③ D.①②③
给出下面三个推导过程:
①为正实数,,当且仅当时,等号成立；
②R,,,当且仅当时,等号成立；
③,∈R,,,当且仅当时,等号成立．
其中正确的推导为(　　)
课堂探究
【练习】
B
解析 ①,为正实数,,为正实数,符合基本不等式的条件,故①的推导正确；
②∈R,,不符合基本不等式的条件,推导是错误的；
A.①②　　　B.①③ C.②③ D.①②③
给出下面三个推导过程:
①为正实数,,当且仅当时,等号成立；
②R,,,当且仅当时,等号成立；
③,∈R,,,当且仅当时,等号成立．
其中正确的推导为(　　)
课堂探究
【练习】
B
解析 ③由,得,均为负数,但在推导过程中将整体提取负号后,, 均变为正数,符合基本不等式的条件,故③正确.
A. B.
C. D.
(1)比较大小
【例题1】若,则下列不等式一定成立的是(　　)
课堂探究
C
解析 (方法1　直接法)
∵,∴,∴．
∵,∴,∴ ．
故．故选C．
A. B.
C. D.
课堂探究
解析 (方法2　特值法)
∵,
∴取则排除A,B,D．
故选C．
(1)比较大小
【例题1】若,则下列不等式一定成立的是(　　)
C
课堂探究
【小结】
运用基本不等式判断所给的不等关系是否正确时,一般有两种处理方法：
(1)若基本不等式成立,进行合理的变形推导．
(2)选取合适的特殊值,举反例排除．注意,特殊值法只能作排除使用,不能作不等式成立的依据．
【跟踪训练1】
设则四个数中最小的是　　　　　．
课堂探究
解析 (方法1)因为所以．
又因为所以<1,得
综上,最小．
(方法2)取则所以最小．
课堂探究
证明 因为
所以
所以
当且仅当即时等号成立．
(2)证明不等式
【例题2】已知,求证：．
课堂探究
【小结】
证明不等式的注意点：
(1)基本不等式使用的条件：等号成立的条件是
(2)注意等号成立的条件要一致,若不一致则等号取不到．
(3)注意不等式性质使用的正确性．
【跟踪训练2】
已知是全不相等的正数,求证：．
课堂探究
证明 ∵都是正数,
∴等号成立的条件为．
等号成立的条件为．
两式相乘,得
等号成立的条件为且．
又全不相等,
故．
课堂探究
提示 本题可拓展为当时,,当且仅当,即时,等号成立．
(3)求最值
【例题3】已知,求的最小值．
解析 因为,所以,
当且仅当,即时,等号成立,
的最小值是．
课堂探究
【小结】
已知都是正数,
(1)如果积等于定值,那么当时,和有最小值；
(2)如果和等于定值,那么当时,积有最大值．
可简记为“积定和最小,和定积最大”．
【跟踪训练3】
(1)已知求的最小值；
课堂探究
解 ∵,∴,
当且仅当,即时,等号成立．
故的最小值为
【跟踪训练3】
(2)已知,且求的最大值；
课堂探究
解 ∵,且,
∴由基本不等式,得,
当且仅当时,取到最大值．
∴的最大值为．
【跟踪训练3】
(3)已知求的最大值；
课堂探究
解 ∵ ,
∴,
∴,
当且仅当,即时,等号成立．
故当时,
【跟踪训练3】
(4)已知,求的最大值．
课堂探究
解 ∵
∴
∴
当且仅当
即时,等号成立．
故当时,．
【例题4】(1)用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短．最短的篱笆是多少
课堂探究
A
B
D
C
课堂探究
解 设矩形菜园的长为m,宽为m,则,篱笆的长为m．
,
,
∴,
结论1：两个正变量积为定值,则和有最小值,当且仅当两变量值相等时取最值．简记“积定和最小”．
【例题4】(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形菜园的长和宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少
课堂探究
A
B
D
C
课堂探究
解 设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则．
矩形菜园的面积为
,
．
结论2：两个正变量和为定值,则积有最大值,当且仅当两变量值相等时取最值．简记“和定积最大”．
【跟踪训练4】
某游泳馆拟建一个平面图形为矩形且面积为200 m2的泳池,池的深度为1 m,池的四周墙壁建造单价为每米400元,中间一条横向的隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价为每平方米60元(池壁厚忽略不计),则泳池的长设计为多少米时,可使总造价最低
课堂探究
解 设泳池的长为 m则宽为 m总造价为元则总造价
整理得到
且仅当时等号成立即泳池的长设计为m时可使总造价最低．
1. 不等式中等号成立的条件是( )
A. B.
C. D.
评价反馈
解析 由基本不等式知等号成立的条件为,即舍去)．故选C．
C
2. (1)若,则的最大值为　　　　　．
(2)若且则的最大值为　　　　　．
评价反馈
解析 (1)(方法1)∵,∴.
∴· 2=,
当且仅当即时,等号成立．
∴当时,取得最大值．
　
　
2. (1)若,则的最大值为　　　　　．
(2)若且则的最大值为　　　　　．
评价反馈
(方法2)∵,∴．
∴ ) ≤3· (,
当且仅当即时,等号成立．
∴当时,取得最大值．
(2)∵∴解得当且仅当时,等号成立．
　
　
3. 已知求证：．
评价反馈
证明 ∵
∴当且仅当时,等号成立,,当且仅当时,等号成立,,当且仅当时,等号成立．
∴,即,当且仅当时,等号成立．
4. 某养殖公司欲将一批冷鲜肉用冷藏汽车从甲地运往相距120 km的乙地,运费为每小时60元,装卸费为1000元,冷鲜肉在运输途中的损耗费(单位：元)是汽车速度值(单位：km/h)的2倍．(说明：运输的总费用=运费+装卸费+损耗费)
(1)写出运输的总费用(单位：元)与汽车速度(单位：km/h)的函数关系式,并求汽车速度为50 km/h时运输的总费用．
(2)求汽车行驶速度为何值时,运输的总费用最小,最小值为多少
评价反馈
评价反馈
解 (1),
当汽车速度为50 km/h时,运输总费用为(元)．
(2)由(1)得,当,即时,等号成立．
故汽车行驶速度为60 km/h时,运输的总费用最小,最小值为1240元．
课堂小结
1.基础知识归纳
(1)基本不等式及其证明、几何解释；
(2)基本不等式的应用,尤其是利用基本不等式求最值．
2.思想方法总结：转化与化归思想
3.误区警示：忽视基本不等式使用前提以及等号成立的条件；利用基本不等式求最值时忽略“一正,二定,三相等”．
布置作业
认真整理本节知识脉络,完成学案．
谢谢大家

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