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3.1.1 函数的概念
第三章　函数的概念与性质
数学
学习目标
①准确理解函数的概念．
②了解函数的构成要素．
③会求函数的定义域．
④准确掌握区间的概念与表示．
学习重难点
重点：
认识函数的三要素并建立函数概念．
难点：
从设置的不同问题情境中,提炼出函数的要素,并由此抽象出函数概念．
课堂导入
在初中我们已经接触过函数的概念,知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具．请观察下面实例：
这里,t和s是两个变量,而且对于t的每一个确定的值,s都有唯一确定的值与之对应,所以s是t的函数．
情境1
某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内,列车行进的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系可以表示为
s＝350t ①
课堂导入
情境1
在上面情境中,根据对应关系①,是否可以认为这趟列车加速到350 km/h后,运行1 h就前进了350 km 做出判断的依据是什么
　　不可以．高速列车加速到350 km/h 后保持匀速运行半小时,但半小时之后的运行情况我们无法做出判断．即上述函数中,的变化范围是数集,的变化范围是数集．对于数集A1中的任一时刻t,按照对应关系①,在数集B1中都有唯一确定的路程s和它对应．
课堂导入
情境2
某电气维修公司要求工人每周工作至少1天,至多6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资,那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资 一个工人的工资w(单位：元)是他工作天数d的函数吗
　　工资w是一周工作天数d的函数,其对应关系为w=350d． ②
　　
其中,d的变化范围是数集A2={1,2,3,4,5,6},w的变化范围是数集B2={350,700,1 050,1 400,1 750,2 100}．对于任意的d∈A2,按照对应关系②,都有唯一确定的w∈B2与它对应．
课堂导入
请将情境1中的函数与情境2中的函数作比较,判断它们是不是同一个函数
　　虽然情境1与情境2中的函数有相同的对应关系,但是自变量的变化范围不同,所以它们并不是同一个函数．因此,判断两个函数是不是同一个函数,不仅要看对应关系,还要看自变量的取值范围．
课堂探究
探究一　函数的概念　
上述两个问题中的函数有哪些共同特征 由此你能概括出函数概念的本质特征吗
上述问题的共同特征有：
①都包含两个非空数集A和B；
②都有一个对应关系(s＝350t；w＝300d)；
③对于数集A中的任意一个数x,按照对应关系在数集B中都有唯一确定的y与之对应．
事实上,除了解析式、图象、表格外,还有其他表示对应关系(函数关系)的方法,在高中,我们引进符号f 统一表示对应关系(函数关系) ．
课堂探究
一般地,设A,B是两个非空的数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x),x∈A．
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y的值叫做函数值；
函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
探究一　函数的概念　
课堂探究
函数的三要素
(1)定义域A
注意：
对应关系f(x)中的x既可以是一个数,也可以是一个代数式,如f(x)＝3x＋5,则f(2x－1)＝3(2x－1)＋5,并且自变量并不一定要用x表示,有时候用t,m等．
(2)对应关系f
(3)值域{f(x)|x∈B}
探究一　函数的概念　
课堂探究
函数的四个特性
①非空性：函数定义中的集合A,B必须是两个非空集合并且是数集,如就不是函数(定义域为空集)．
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值．
③唯一性：每一个自变量都有唯一的函数值与之对应．
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系,但是,从值域到定义域,则新的对应关系就不一定是函数关系．
函数类型 定义域 对应关系 值域
一次函数
二次函数
反比例函数
课堂探究
结合函数定义,请将下面的表格补充完整：
R
y=kx+b(k≠0)
R
R
y=ax +bx+c(a≠0)
{x|x≠0}
(k≠0)
{y|y≠0}
探究一　函数的概念　
课堂探究
【例题1】
(多选题)下列关于函数定义的理解中,正确的是( )
A. 函数定义域中任意一个x可以对应着值域中不同的y
B. 函数值域中任何一个y可以对应着定义域内不同的x
C. 任何两个集合之间都可以建立函数关系
D. 函数的对应关系和定义域确定之后,函数的值域也就确定了
解析 由函数的定义可知,对于定义域中任意一个x,在值域中都有唯一确定的y与它对应,故A错误；
而对于值域中任何一个y,在定义域内可以有多个x与它对应,例如函数y＝x2,当y＝1时,定义域内有两个自变量1,－1和它对应,故B正确；
两个集合之间可以建立函数关系的前提是两个集合为非空数集,故C错误；
由函数定义可知,当定义域与对应关系确定后,值域也就唯一确定了,故D正确．
BD
课堂探究
对于函数的定义,需要注意以下几点：
(1)集合A,B都是非空数集；
(2)集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应；
(3)集合A是函数的定义域；
(4)值域是集合B的子集．
课堂探究
若集合A,B与对应关系如下图所示,则f：A→B是否为从集合A到集合B的函数 如果是,那么定义域、值域和对应关系分别是什么
解 f：A→B是从集合A到集合B的函数,并且其定义域为{1,2,3,4,5},值域为{2,3,4,5},对应关系如下表：
x∈A 1 2 3 4 5
y∈B 2 2 3 5 4
【跟踪训练1】
课堂探究
设a,b是两个实数且a①满足不等式a≤x≤b的实数的集合叫做闭区间,表示为[a,b]；
②满足不等式a③满足不等式a④满足不等式a≤x⑤实数集R可以用区间表示为(－∞,＋∞),“∞”读作“无穷大”,“－∞”读作“负无穷大”,“＋∞”读作“正无穷大”．
探究二　区间　
集合 名称 区间 数轴表示
课堂探究
各个区间的含义及表示方法如下表所示：
闭区间
开区间
左开右闭区间
左闭右开区间
[a,b)
(a,b]
(a,b)
[a,b]
探究二　区间　
集合 名称 区间 数轴表示
课堂探究
常见区间的含义及表示方法如下表所示：
[a,＋∞)
(a,＋∞)
(－∞,b]
(－∞,b)
(－∞,＋∞)
探究二　区间　
无穷区间
半开半闭区间
开区间
半开半闭区间
开区间
课堂探究
【例题2】
已知函数f(x)＝,
(1)求函数的定义域；(2)求f (－3),f()的值；(3)当a>0时,求f(a),f(a－1)的值．
解 (1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥－3},使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠－2}．
所以这个函数的定义域是{x|x≥－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3,且x≠－2},即[－3,－2)∪(－2,＋∞)．
课堂探究
【例题2】
已知函数f(x)＝,
(1)求函数的定义域；(2)求f (－3),f()的值；(3)当a>0时,求f(a),f(a－1)的值．
解 (2)将－3与代入解析式,有f(－3)＝＝－1；
f()＝．
课堂探究
【例题2】
已知函数f(x)＝,
(1)求函数的定义域；(2)求f (－3),f()的值；(3)当a>0时,求f(a),f(a－1)的值．
解 (3)a>0时,a－1>－1,此时f(a),f(a－1)有意义,故f(a)＝,f(a－1)＝．
课堂探究
【例题3】
下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数
(1)y＝()2； (2)u＝； (3)y＝； (4)m＝．
解 函数y=x的定义域为R,值域为R．
(1)中,自变量x的定义域为[0,+∞),所以(1)不是．
(2)中,自变量x的定义域为R,对应关系化简为u=v,所以(2)是．
(3)中,自变量x的定义域为R,值域为(0,+∞),所以(3)不是．
(4)中,自变量x的定义域为(－∞,0)∪(0,+∞),所以(4)不是．
课堂探究
1. 求解给出解析式的函数的定义域,就是求解使得函数解析式有意义的自变量的取值范围,常见的有如下几种情况：
(1)若函数解析式为整式时,定义域为R；
(2)若解析式为分式,则分式的分母不能为0；
(3)若解析式为偶次根式,则被开方数非负；
(4)若解析式为y＝x0,则x≠0；
(5)若解析式是由一些简单函数通过四则运算的形式构成,则函数定义域是使得各部分有意义的公共部分的集合,即各部分x的取值范围的交集．
课堂探究
2. 由函数的定义可知,一个函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．
当定义域和对应关系确定后,函数的值域也被唯一确定了．
因此判断两个函数是不是同一个函数,只需验证两个函数的定义域与对应关系是否一致．
课堂探究
【跟踪训练2】
(1)下列各组函数表示同一个函数的是( )
A. f(x)＝x,g(x)＝(x)2 B. f(x)＝x2＋2x,g(t)＝t2＋2t
C. f(x)＝x－1,g(x)＝ D. f(x)＝x,g(x)＝|x|
解析 A项中函数f(x)＝x的定义域为R,函数g(x)＝()2的定义域为{x|x≥0},所以两个函数表示的不是同一个函数；B项中两个函数的定义域和对应关系完全相同,所以两个函数表示的是同一个函数；C项中函数f(x)＝x－1的定义域为R,函数g(x)＝的定义域为{x|x≠－1},所以两个函数表示的不是同一个函数；D项中函数f(x)＝x和函数g(x)＝|x|的定义域相同,但对应关系不相同,所以两个函数表示的不是同一个函数．故选B．
B
课堂探究
(2)求下列函数的定义域：
①f(x)＝；
②f(x)＝－1．
解 ①为使得函数f(x)有意义,则x需要满足条件4x＋7≠0,
解得x≠－,所以f(x)的定义域为．
②为使得函数f(x)有意义,则x需要满足条件1－x≥0且x＋3≥0,解得－3≤x≤1,所以f(x)的定义域为{x|－3≤x≤1}．
【跟踪训练2】
评价反馈
1. 若(a,3a－1)为一确定区间,则a的取值范围是_____________．
解析 由题意,得3a－1>a,解得a>,故所求a的取值范围是(,＋∞)．
(,＋∞)
评价反馈
2. 用区间表示下列集合:
(1){x|16}；(4)
解析 (1)(1,＋∞)
(2)(－1,2)∪(2,7]
(3)(0,3]∪(6,＋∞)
(4)(－∞,－1)∪[3,＋∞)
评价反馈
3. 下列各组的两个函数为同一个函数的是( )
A. f(x)＝,g(x)＝
B. f(x)＝()2,g(x)＝2x－5
C. f(x)＝,g(x)＝
D. f(x)＝,g(x)＝() 2
解析 A中,f(x)＝的定义域为{x|x≥1},g(x)＝的定义域为{x|x≥1,或x≤－1},两个函数的定义域不相同,故不是同一个函数；B中,f(x)＝()2的定义域为{x},g(x)＝2x－5的定义域为R,两个函数的定义域不相同,故不是同一个函数；C中,f(x)＝与g(x)＝的对应关系不相同,故不是同一个函数；D中,f(x)＝＝x(x>0)与g(x)＝＝t(t>0)的定义域与对应关系都相同,它们是同一个函数,故选D．
D
评价反馈
4. 求下列函数的定义域:
(1)f(x)＝1－3x；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝．
解 (1)f(x)＝1－3x的定义域为(－∞,＋∞)．
(2)由x2－1≠0得x≠±1,所以f(x)＝的定义域为{x|x≠－1且x≠1}．
(3)由,得－2≤x≤1,所以f(x)＝的定义域为[－2,1]．
(4)由得x≥－1且x≠0,所以f(x)＝的定义域为[－1,0)∪(0,＋∞)．
课堂小结
问题思考
我们今天都讲了哪些知识
1. 函数的概念、函数的构成要素．
2. 对于对应关系的正确理解．
3. 区间的概念．
4. 函数定义域的求法．
布置作业
完成学案后的核心素养专练．
谢谢大家

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