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3.1.2　函数的表示法
第三章　函数的概念与性质
数学
学习目标
①掌握函数的三种表示法．
②理解分段函数的概念并能简单应用．
③掌握求解函数解析式的常见方法．
学习重难点
重点：
函数的三种表示法,分段函数的概念．
难点：
根据函数特征选择适当的函数表示法,以及对分段函数定义域的理解．
在初中接触过函数的三种表示法：
解析法、列表法和图象法．
回顾教材第60~62页问题1~问题4,回答：四个问题中所涉及的函数的表示法分别是什么
探究一　函数的表示法
课堂探究
问题1
【1】解析法,即用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．
【2】列表法,即列出表格表示两个变量之间的对应关系．
【3】图象法,即画出函数图象来表示两个变量之间的对应关系．
问题1、问题2
问题4
问题3
课堂探究
某种笔记本的单价是5元,买(∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要元．
试用函数的三种表示法来表示函数=()．
【解析法】=5,∈{1,2,3,4,5}
【列表法】函数可以表示如下表：
1 2 3 4 5
5 10 15 20 25
【图象法】函数图象可以表示如右图：
25
20
15
10
5
0 1 2 3 4 5
探究一　函数的表示法
问题2
课堂探究
表示法 优点 缺点
解析法
列表法
图象法
比较三种表示法的优缺点,完成表格
可以简单全面地表示出变量之间的关系,并可以直接求任意自变量对应的函数值．
不需要计算便可以直接看出变量之间的对应关系．
不够形象,并且并不是所有的函数都有解析式．
仅能表示自变量个数较少的函数,不适合表示连续函数．
可以形象直观地表示出函数的变化情况．
单纯由函数图象不能准确表达两变量之间的对应关系．
探究一　函数的表示法
探究一　函数的表示法
课堂探究
在用三种方法表示函数时要注意：
【1】解析法必须标明函数的定义域
【2】列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系
【3】图象法必须搞清楚函数图象是“点”还是“线”
课堂探究
【例题1】
解 (1)因为是一次函数,不妨设,则,所以解得,所以
(2),令,则,
所以,,所以,
根据已知条件,求出下列函数的解析式：
(1)已知是一次函数,且,求f(x)的解析式；
(2)已知,求f(x)的解析式；
探究一　函数的表示法
课堂探究
【例题1】
解
．
根据已知条件,求出下列函数的解析式：
(3)已知的解析式；
(4)已知解析式．
探究一　函数的表示法
课堂探究
求函数解析式的常用方法有：
(1)当已知函数的类型时,可用待定系数法求解；
(2)当已知函数表达式为时,可考虑用配凑法或换元法,要注意新元的范围；
(3)若已知的关系表达式时,通常采用方程组法．
归纳新知
探究一　函数的表示法
课堂探究
【跟踪训练1】
解 (1)(方法1　配凑法),
．
(方法2　换元法)令
．
根据已知条件,求出下列函数的解析式：
(1)已知函数的解析式；
(2)已知解析式．
探究一　函数的表示法
课堂探究
解 (2)
．
探究一　函数的表示法
【跟踪训练1】
根据已知条件,求出下列函数的解析式：
(1)已知函数的解析式；
(2)已知解析式．
探究二　分段函数
课堂探究
画出函数的图象,观察其图象特征,思考能否用其他形式表示该函数
问题3
由绝对值的概念,有=
画出图象,如右图：
像这样的函数,叫做分段函数．分段函数一般在实际问题中出现的比较多,例如出租车的计费,个人所得税的计算等等．
探究二　分段函数
课堂探究
分段函数是不是一个函数 分段函数的定义域是怎样定义的 值域呢
问题4
(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数,处理分段函数的问题时,首
先要明确自变量的取值在哪个区间,从而选取相应的对应关系．
(2)分段函数在书写的时候左边用大括号把几个对应关系括在一起,在每
段对应关系表达式的后面用小括号写上相应的取值范围．
(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集,只能写成一个集合
的形式；值域是各段函数在对应自变量取值范围内值域的并集．
探究二　分段函数
课堂探究
几种常见的分段函数：
(1)符号函数：
如：=
(2)含绝对值符
号的函数：
如：=
(3)自定义函数：
如：=
(4)取整函数：
如：(表示不大于的最大整数)
(5)
(6)
课堂探究
【跟踪训练2】
给定函数,
(1)在同一直角坐标系中画出函数的图象；
解 (1)如下图：
探究二　分段函数
课堂探究
给定函数,
(2)．请分别用图象法及解析法表示函数
解 (2)结合(1)中图象及函数M(x)的定义,可得函数M(x)的图象如下：
由,
结合上面图象,可得函数M(x)的解析式为M(x)=
探究二　分段函数
【跟踪训练2】
课堂探究
【跟踪训练3】
给定函数,
(1)在同一直角坐标系中画出函数的图象；
解 (1)如下图：
探究二　分段函数
课堂探究
【跟踪训练2】
给定函数,
(2
解 (2)结合(1)中图象及函数m(x)的定义可得函数m(x)的图象如右所示：
由x+1=(x1)2,得x(x1)=0.解得x=0,或x=1；
结合图象,可得函数m(x)的解析式为m(x)=
探究二　分段函数
课堂探究
思考
对于一个具体的问题,如果涉及函数,怎样选择恰当的方法表示问题中的函数关系
探究三　分段函数的应用
课堂探究
【例题3】
下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：
解 从表中可知每位同学在每次测试中的成绩,但不易分析每位同学的成绩变化情况．
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王 伟 98 87 91 92 88 95
张 城 90 76 88 75 86 80
赵 磊 68 65 73 72 75 82
班平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
探究三　分段函数的应用
课堂探究
【例题3】
若将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示出来,如下图,那么就能直观反映成绩变化：
分析上图：
王伟同学的数学成绩始终高于班平均水平, 学习情况较为稳定且成绩优秀；
张城同学数学成绩不稳定, 总在班平均水平上下波动,且波动幅度较大；
赵磊同学数学成绩低于班级平均水平, 但他的成绩呈上升趋势,表明他的成绩在稳步提高．
虚线部分并不是图象的一部分
探究三　分段函数的应用
课堂探究
【例题4】
依法纳税是每个公民应尽的义务,个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税(简称个税)．2019年1月1日起,个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定,计算公式为：
个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数．①
应纳税所得额的计算公式为：
应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除
费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的
其他扣除．②
其中,“基本减除费用”(免征额)为每年
60 000元．税率与速算扣除数见右表．
级数 全年应纳税所得额所在区间 税率(%) 速算扣除数
1 [0,36 000] 3 0
2 (36 000,144 000] 10 2 520
3 (144 000,300 000] 20 16 920
4 (300 000,420 000] 25 31 920
5 (420 000,660 000] 30 52 920
6 (660 000,960 000] 35 85 920
7 (960 000,+∞) 45 181 920
探究三　分段函数的应用
课堂探究
【例题4】
(1)设全年应纳税所得额,并画出图象；
解 (1)根据题干中表格,可得函数的解析式y=③
函数图象如右图所示：
探究三　分段函数的应用
课堂探究
【例题4】
(2)小王全年综合所得收入额为117 600元,假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%,2%,1%,9%,专项附加扣除是9 600元,依法确定其他扣除是560元,那么他全年应缴纳多少综合所得个税
解 (2)根据②,小王全年应纳税所得额为
t=117 60060 000117 600(8%+2%+1%+9%)9 600560
=0.8117 60070 160
=23 920．
将t的值代入③,得y=0.0323 920=717.6．
所以,小王应缴纳的综合所得个税税额为717.6元．
探究三　分段函数的应用
课堂探究
【跟踪训练4】
(1)下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好 请你为剩下的那个图象写出一件事.
①我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家里找到了作业本再上学；
②我骑着车离开家后一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间；
③我从家出发后,心情轻松,一路缓缓加速行进.
探究三　分段函数的应用
放慢速度
课堂探究
【跟踪训练4】
(2)某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
①5 km以内(含5 km),票价2元；
②5 km以上,每增加5 km,票价增加1元(不足5 km的按5 km计算)．
如果某条线路的总里程为20 km,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,
并画出函数的图象．
探究三　分段函数的应用
解 设票价y元,里程为x km,由题意可知,
自变量x的取值范围为(0,20],函数解析式为y=
由此画出函数图象,如右图：
评价反馈
1. 若函数=则=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 因为=则,
所以.故答案为A．
A
评价反馈
2. 若函数,,
,,,,,的值为(　　)
A.3 B.2
C.1 D.0
解析 由函
B
1 2 3
2 3 0
评价反馈
3. 若函数()的图象如图所示,则()的解析式是 (　　)
A.3 B.2
C.1 D.0
解析 根据题中图象可知,函数f(x)的图象是由两条直线构成的,设
故答案为C．
C
评价反馈
4. 如果函数=,那么的值为(　　)
A.25 B.16 C.9 D.3
解析 因为=
所以,故答案为C．
C
评价反馈
5. 如图,已知△ABC,AB=AC=5,BC=8,点P从点B沿直线BC运动到点C,过点P作BC的垂线,记直线左侧部分的多边形为Ω,设BP=x,Ω的面积为S(x),Ω的周长为L(x)．
(1)求S(x)和L(x)的解析式；
解
．
．
5. 如图,已知△ABC,AB=AC=5,BC=8,点P从点B沿直线BC运动到点C,过点P作BC的垂线,记直线左侧部分的多边形为Ω,设BP=x,Ω的面积为S(x),Ω的周长为L(x)．
(2)最大值．
评价反馈
解 (2)当
课堂小结
问题思考
我们今天都讲了哪些知识
1.函数的三种表示法及其各自的特点．
2.函数的解析式的求法．
3.分段函数的概念及表示法．
4.选择恰当的方法表示实际问题中的函数关系．
布置作业
完成学案．
谢谢大家

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