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3.2.1　单调性与最大(小)值
第2课时
第三章　函数的概念与性质
数学
学习目标
①理解函数的最大(小)值的概念及几何意义．
②能够利用函数图象、单调性定义求最值．
③能够利用单调性与最值解决比较大小、解不等式等问题．
学习重难点
重点：
函数最值的符号语言刻画及如何求解函数最值．
难点：
二次函数的最值问题．
探究　()的最大(小)值
课堂探究
问题1
上节课我们以二次函数为例,研究了其单调性,除此之外,你还发现了什么
最低点,．
如何用符号语言来描述函数的这个性质
x
y
o
R,都有．
探究　()的最大(小)值
课堂探究
问题2
画出二次函数的图象并观察,是否与有相似的结论
函数的图象上有一个最高点,,
即 x∈R,都有．
探究　()的最大(小)值
课堂探究
问题3
当一个函数()的图象有最低点时,我们就说函数()有最小值；
类似地,当一个函数()的图象有最高点时,我们就说函数()有最大值．
你能用符号语言来描述一下最大值的定义吗
,
,
,
,maximum value．
课堂探究
思考问题
能否仿照函数最大值的定义给出函数=()的最小值的定义
课堂探究
探究　()的最大(小)值
,
,
,
,minimun value．
课堂探究
归纳新知
,,,
,,
,,,
,,
．
【例题1】
解 画出函数的图象如右图．显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度．
“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度是多少(精确到1 m)
课堂探究
o
4
3
2
1
5
10
15
20
【例题1】
解 由二次函数的知识,对于函数,我们有：
当==1.5时,函数有最大值=≈29．
于是,烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约为29 m．
“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度是多少(精确到1 m)
课堂探究
o
4
3
2
1
5
10
15
20
【跟踪训练1】
解 设售价为x元,利润为y元,单个涨价(x50)元,销量减少10(x50)个,
销量为,
故当x=70时,ymax=9 000,
即售价为70元时,利润最大值为9 000元．
将进货单价为40元的商品按50元一个出售时,能卖出500个,已知这种商品每涨价1元,其销售量就减少10个,为得到最大利润,售价应为多少元 最大利润为多少
课堂探究
【例题2】
解 x1,x2∈[2,6],且x1由2≤x10,(x11)(x21)>0,于是f(x1)f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)．
所以,函数f(x)=在区间[2,6]上单调递减．
因此,函数f(x)=在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值．
在x=2时取得最大值,最大值是2,在x=6时取得最小值,最小值是0.4．
已知函数f(x)=(x∈[2,6]),求函数的最大值和最小值．
课堂探究
课堂探究
归纳新知
(1)若函数在区间上单调递增,那么函数的最小值min=(),最大值max=()．
(2)若函数在区间上单调递增,那么函数的最小值min=(),最大值max=()．
(3)函数的最大值和最小值可以有多个,如图：
(4)如果函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的单调性,还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
【跟踪训练2】
解 x1,x2∈[2,6],且x1由2≤x10,x1x2>0,
所以f(x1)f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)=在区间[2,6]上单调递减．
因此,函数f(x)=在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值．
在x=2时取得最大值,最大值是,在x=6时取得最小值,最小值是．
已知函数f(x)=,求函数在区间[2,6]上的最大值与最小值．
课堂探究
解析 由题图可知,f(x)的最大值为f(1)=2,f(x)的最小值为f(2)=1．故答案为C．
1. 若函数y=f(x)在区间[2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是(　　)
A.1,0 B.0,2
C.1,2 D.,2
评价反馈
C
解析 记,,
,
,
,,故答案为C．
2. 当恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(∞,1] B.(∞,0]
C.(∞,0) D.(0,+∞)
评价反馈
C
3. 若x∈R,是,这两个函数中的较小者,则的最大值为(　　)
A.2 B.1 C. 1 D.无最大值
评价反馈
B
解析 在同一坐标系中画出函数,
,,
时,f(x)max=1．故答案为B．
4. 求函数的最大值和最小值．
评价反馈
解
作出此函数的图象如图所示,
由图可知函数的最大值为3,最小值为3．
5. 已知二次函数的最小值为1,．
(1)求的解析式；
评价反馈
解 (1),,
,,
,
5. 已知二次函数1,
(2)[,]上不单调,求a的取值范围；
评价反馈
解 (2),,
．
,
5. 已知二1,
(3),,的最小值．
评价反馈
解 (3),
,,,
,,．
,,,,,
,
,,,,
,,
,
,
课堂小结
问题思考
我们今天都讲了哪些知识
函数的最值
最大值
最小值
函数的最值的求法
(1)利用二次函数的性质(配方法)求函数的最值．
(2)利用图象求函数的最值．
(3)利用函数单调性求函数的最值．
布置作业
完成学案．
谢谢大家

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