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3.2.2　奇偶性
第三章　函数的概念与性质
数学
学习目标
①能够借助函数图象,用符号语言表达函数的奇偶性定义．
②能够判断函数是否具有奇偶性,并会用定义证明函数的奇偶性．
③能利用函数的奇偶性解决一些简单的问题．
学习重难点
重点：
理解、掌握函数奇偶性的定义,奇函数和偶函数图象的特征,并能初步应用定义判断一些简单函数的奇偶性．
难点：
函数奇偶性概念的探究与准确理解．
课堂导入
问题1
下面的图形中哪些是轴对称图形 哪些是中心对称图形
轴对称图形
轴对称图形
中心对称图形
课堂导入
问题2
函数图象,是否也具有对称的特性呢 是否也体现了图象对称的美感呢
有些函数的图象具有对称性．
探究一　偶函数
课堂探究
画出并观察函数与的图象,能发现这两个函数图象有什么共同特征吗
x
y
o
1
2
3
4
5
1
1
2
3
1
2
3
图象关于y轴对称
x
y
o
1
2
3
4
5
1
1
2
3
1
2
3
探究一　偶函数
课堂探究
观察下面的表格,能发现相应函数值分布有何特征吗
··· 3 2 1 0 1 2 3 ···
··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
··· 1 0 1 2 1 0 1 ···
当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值相等．
=
探究一　偶函数
课堂探究
x
y
o
1
2
3
4
5
1
1
2
3
1
2
3
f(1)
f(1)
f(2)
f(2)
f(3)
f(3)
=
=
=
x
x
(x,f(x))
( x,f( x))
f(x)
f(x)
任意一点
(x)=2 |x|
x
y
o
1
2
3
4
5
1
1
2
3
1
2
3
x∈R,f(x)=(x)2=x2=f(x),(x)=2|x|=2|x|=(x),所以上面的结论成立．
图象关于y轴对称的函数是否都满足上面的结论
满足．
探究一　偶函数
课堂探究
类似于函数f(x)=x2与g(x)=2|x|,我们将图象关于y轴对称的函数称为偶函数,你能给出偶函数的定义的符号表示吗
偶函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有x∈D,且f(x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数(even function)．
探究一　偶函数
课堂探究
偶函数的概念中,为什么强调 x∈D,都有x∈D
说明x、x必须同时属于定义域,
f(x)与f(x)都有意义,
偶函数的定义域关于原点对称．
O
a
a
b
b
你能举出几个偶函数的例子吗
例如f(x)=x2+1,g(x)=
课堂探究
归纳新知
一般地,一个函数是偶函数的两个判断方式：
(1)①该函数的定义域关于轴对称,即D为定义域,∈D,∈D；
②任取一个自变量,都满足．
(2)几何法：函数的图象关于轴对称,那么函数就是偶函数．
要证明某个函数不是偶函数,只需要列举出一个反例0,证明0≠(0即可．
探究二　奇函数
课堂探究
画出并观察函数的图象,你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗
图象关于原点对称
探究二　奇函数
课堂探究
观察下面的表格,能发现相应函数值分布有何特征吗
… 3 2 1 0 1 2 3 …
… 3 2 1 0 1 2 3 …
… 1 无 1 …
当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值也是一对相反数．
探究二　奇函数
课堂探究
x∈R,f(x)=x=f(x),(x)===g(x),所以上面的结论成立．
图象关于原点成中心对称的函数是否都满足上面的结论
满足
探究二　奇函数
课堂探究
类似于函数f(x)=x与,我们将图象关于原点成中心对称的函数称为奇函数,你能给出奇函数的定义的符号表示吗
奇函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有x∈D,且f(x)=f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)．
探究二　奇函数
课堂探究
奇函数的概念中,为什么强调 x∈D,都有x∈D
奇函数的图象关于原点对称,反之,一个函数的图象关于原点对称,那么它是奇函数．
奇函数要满足：①定义域关于原点对称；
②．
你能举出几个奇函数的例子吗
例如f(x)=x3,(x)=2x+
课堂探究
归纳新知
一般地,一个函数是奇函数的两个判断方式：
(1)①该函数的定义域关于轴对称,即为定义域, ∈,∈；
②任取一个自变量,都满足．
(2)几何法：函数的图象关于原点成中心对称,那么函数就是偶函数．
要证明某个函数不是奇函数,只需要列举出一个反例0,证明即可．
如果奇函数=0处有定义,则：()=0．
【例题1】
解 (1)函数f(x)=x4的定义域为R．
因为 x∈R,都有x∈R,且f(x)=(x)4=x4=f(x),所以函数f(x)=x4为偶函数．
(2)函数f(x)=x5的定义域为R．
因为 x∈R,都有x∈R,且f(x)=(x)5=x5= f(x),所以函数f(x)=x5为奇函数．
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=x4；(2)f(x)=x5；(3)f(x)=x+；(4)f(x)=．
课堂探究
【例题1】
解 (3)函数f(x)=x+的定义域为{x|x≠0}．
因为 x∈{x|x≠0},都有 x∈{x|x≠0},且f(x)=x+=(x+)=f(x),所以函数f(x)=x+为奇函数．
(4)函数f(x)=的定义域为{x|x≠0}．
因为 x∈{x|x≠0},都有 x∈{x|x≠0},且f( x)==f(x),所以函数f(x)=为偶函数．
课堂探究
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=x4；(2)f(x)=x5；(3)f(x)=x+；(4)f(x)=．
课堂探究
归纳新知
(1)域,,
,．
,
,
,
,,
,,不是奇函数也
【跟踪训练1】
解 (1)函数f(x)=2x4+3x2的定义域为R．
因为 x∈R,都有x∈R,且f(x)=2(x)4+3(x)2=2x4+3x2=f(x),
所以函数f(x)=2x4+3x2为偶函数．
(2)函数f(x)=x32x的定义域为R．
因为 x∈R,都有x∈R,且f(x)=(x)32(x)=x3+2x=(x32x)=f(x),
所以函数f(x)=x32x为奇函数．
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=2x4+3x2； (2)f(x)=x32x．
课堂探究
【思考1】
解析 函数f(x)=x3+x的定义域为R ．
因为 x∈R,都有x∈R,且f(x)=(x)3+(x)= x3x=(x3+x)=f(x),
所以函数f(x)=x3+x为奇函数．
判断函数f(x)=x3+x的奇偶性．
课堂探究
【思考2】
下图是函数f(x)=x3+x图象的一部分,你能根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗
课堂探究
【思考3】
一般地,如果知道为偶(奇)函数,那么我们可以怎样简化对它的研究
课堂探究
结论 可以作出在轴某一侧的图象,研究在这一侧的性质,然后推断出函数在另一侧的图象与性质,进而简化对函数的研究．
【例题2】
已知是偶函数,g是奇函数,试将下图补充完整．
课堂探究
解析
【跟踪训练2】
解 (1)由于f(x)是奇函数,则其图象关于原点对称,其图象如图所示．
(2)观察图象,知f(3)定义在[3,1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数,其部分图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
课堂探究
【例题3】
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x2+3x+1．
(1)求f(0)的值；
(2)当x<0时,求f(x)的解析式；
(3)求f(x)在R上的解析式．
课堂探究
解析 (1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0．
【例题3】
课堂探究
解析 (2)当x<0时,x>0,所以f(x)=2( x)2+3(x)+1=2x23x+1．
又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=f(x)=2x2+3x1．
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x2+3x+1．
(1)求f(0)的值；
(2)当x<0时,求f(x)的解析式；
(3)求f(x)在R上的解析式．
【例题3】
课堂探究
解析 (3)由(1)(2)问结论可得f(x)=
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x2+3x+1．
(1)求f(0)的值；
(2)当x<0时,求f(x)的解析式；
(3)求f(x)在R上的解析式．
【跟踪训练3】
解 ∵f(x)+(x)=x2+3x+1, ①
∴f(x)+(x)=(x)2+3(x)+1=x23x+1,又f(x)是偶函数,(x)是奇函数,
∴上式可化为f(x)(x)=x23x+1．②
①②两个方程联立可得f(x)=x2+1,(x)=3x．
已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+(x)=x2+3x+1,求函数f(x),(x)的解析式．
课堂探究
1. 下列函数为偶函数的是(　　)
A.f(x)=x3 B.f(x)=|x|+1
C.f(x)=x2+x D.f(x)=x2,x∈[1,2]
评价反馈
解析 A项中,f(x)=x3定义域为R,f(x)=(x)3=x3=f(x),所以f(x)=x3是奇函数；B项中,
f(x)=|x|+1定义域为R,f(x)=|x|+1=|x|+1=f(x),所以f(x)=|x|+1是偶函数；C项中,f(x)=
x2+x定义域为R,f(x)=(x)2+(x)=x2x,所以f(x)=x2+x既不是奇函数也不是偶函数；D项中,f(x)=x2,x∈[1,2],定义域不关于原点对称,所以既不是奇函数也不是偶函数．故答案为B．
B
2. 下列说法正确的是(　　)
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.若奇函数在=0处有定义,则(0)=0
C.奇函数的图象一定过原点
D.图象过原点的函数一定是奇函数
评价反馈
解析 f(x)=为偶函数,但其图象与y轴无交点,A项错误；若f(x)为在x=0处有定义的奇函数,则f(0)=0,B项正确；f(x)=是奇函数,但其图象不过原点,C项错误；f(x)=x2+x的图象过原点,但其既不是奇函数也不是偶函数,D项错误．
故答案为B．
B
3. 若函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)=x3,则f(2)=(　　)
A.8 B.8 C. D.
评价反馈
解析 ∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(2)=f(2)=(2)3=8,故答案为B．
B
4. 若函数f(x)=ax2+(b1)x+3a+b是偶函数,定义域为[a1,2a],则a+b=_______．
评价反馈
解析 因为函数f(x)是偶函数,所以其定义域关于原点对称,即a1+2a=0,解得a=,所以f(x)既是二次函数又是偶函数,所以其对称轴为x=0,即b1=0,所以b=1,所以a+b=+1=．
5. (多选题)设函数f(x),(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)(x)是偶函数 B.|f(x)|+(x)是偶函数
C.f(x)|(x)|是奇函数 D.|f(x)(x)|是奇函数
评价反馈
解析 ∵f(x)是奇函数,(x)是偶函数,
∴f(x)=f(x),(x)=(x),
设F1(x)=f(x)(x),则F1(x)=f(x)(x)=f(x)(x)=F1(x),可知F1(x)为奇函数,故A项错误；同理可证B项、C项正确,D项错误．故答案为BC．
BC
课堂小结
问题思考
我们今天都讲了哪些知识
1.奇函数、偶函数的概念及其符号表示．
2.判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法．
3.利用奇偶性定义判断函数奇偶性的一般步骤．
4.利用函数奇偶性探究函数性质．
布置作业
完成学案．
谢谢大家

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