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3.3　幂函数
第三章　函数的概念与性质
数学
学习目标
①准确掌握幂函数的概念．
②掌握幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x 1, y=x 的图象及性质．
③能够利用幂函数的性质解决相关问题．
学习重难点
重点：
幂函数的概念、图象与性质．
难点：
结合y=x,y=x2,y=x3,y=x 1, y=x 五个幂函数的图象,掌握它们的性质．
(1)如果张红购买了每千克元的蔬菜千克,那么她需要付的钱数 ．
(2)如果正方形的边长为,那么正方形的面积是 ,
(3)如果正方体的边长为,那么正方体的体积是 ,
(4)如果正方形场地的面积为,那么正方形的边长 ,
(5)如果某人内骑车行进了km,那么他骑车的平均速度_________．
课堂导入
a
b
1 km/s
这里是的函数
这里是的函数
这里是的函数
这里是的函数
这里是的函数

3
1
情境1
课堂导入
(1)都是函数；
(2)均是以自变量为底的幂；
(3)指数为常数；
(4)自变量前的系数为1．
上述问题中涉及的函数,都是形如α的函数．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
思考：这几个函数有什么共同特征
课堂探究
探究一　幂函数的概念
通过前面的讨论得到如下结论：
这几个函数解析式都具有幂的形式,并且都是以幂的底数为变量,幂的指数为常数．
幂函数的定义：
一般地,函数α叫做幂函数,其中是自变量,是常数．
课堂探究
已知函数是幂函数,且其图象经过点,,则．
解析 因为函数是幂函数,不妨设α,又因为的图象经过点,,即α,解得,所以2．
【例1】
2
探究一　幂函数的概念
课堂探究
(多选题)下列函数是幂函数的是( )
解析 由幂函数的定义可知,正确选项为CD．
【跟踪训练1】
A.3 B.3
C. D.
CD
探究一　幂函数的概念
课堂探究
判断一个函数是不是幂函数,依据是看这个函数的解析式是不是
的形式,即需满足：
(1) 的系数为1；
(2) 的底数为自变量；
(3) 的指数为常数．
注意：只有同时满足这三个条件的,才是幂函数．形如, ,等的函数不是幂函数．
探究一　幂函数的概念
课堂探究
有了幂函数的定义,结合我们之前所学函数,我们应该如何研究幂函数
画函数图象,利用图象得到函数的性质．
幂函数,2, 1的图象是我们比较熟悉的,那么该如何画出3以及的图象
课堂探究










说明：对于幂函数,我们只研究,,,,时图象的性质．
在同一坐标系中画出函数,2, 3,
以及 1的图象．
探究二　特殊幂函数的图象及其性质
课堂探究
探究二　特殊幂函数的图象及其性质
根据所绘图象,结合函数解析式,完成下表．
函数
定义域
值域
奇偶性
单调性
,
,
,
∞,0
,
,
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
非奇非偶
∞,+∞
∞,+∞
∞,0
,
,,
,,










它们有哪些共同性质 有哪些不同性质
课堂探究










【总结】
①在区间(0,+∞)上,函数图象都过点 (1,1) ；
②函数, 3 , 1为奇函数,函数 2为偶函数；
③在区间(0,+∞)上,函数,2, 3 ,,
1单调递减；
④在第一象限内,函数 1的图象向上与轴无限接近,向右与轴无限接近．
探究二　特殊幂函数的图象及其性质
课堂探究
【总结】
①所有幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且函数图象都过点 (1,1) ；
②当时,幂函数的图象过原点,并且在区间,上单调递增；
③当时,幂函数在区间,上单调递减；
④任何幂函数都不过第四象限．
探究三　一般幂函数的性质
结合五个特殊的幂函数及其性质,思考并讨论：一般幂函数有哪些性质
课堂探究
(多选题)下列关于幂函数的说法正确的是( )
解析 幂函数 1的图象不经过点,,A选项错误；对任意的幂函数α都有α,故幂函数的图象均经过点,,B选项正确；2在区间,上单调递减,C选项错误；由B选项可知,D选项正确．
【例2】
A.幂函数的图象均经过点,
B.幂函数的图象均经过点,
C.当时,幂函数在定义域上单调递增
D.所有幂函数在第一象限都存在图象
BD
探究三　一般幂函数的性质
课堂探究
幂函数α在第一象限内的图象如图所示,已知分别取 1,,1,2四个值,则相应图象依次是　　　　　　　　　 ．
解析 由幂函数图象可知,在第一象限,作直线(),它同所有幂函数图象相交,并且按交点从下到上的顺序,幂指数按从小到大的顺序排列．因此可知相应图象依次是C1,C2 ,C3,C2．
【跟踪训练2】
C1,C4,C3,C2
探究三　一般幂函数的性质
课堂探究
思考问题
掌握了幂函数性质之后,利用幂函数性质,我们可以解决哪些问题
(1)比较数的大小；
(2)判断给定幂函数的单调性等性质；
(3)利用幂函数性质解决实际生活问题等．
课堂探究
比较下列各组数中两个数的大小．
解 (1)幂函数0.4在区间,上单调递增,且,
)0.4>)0.4．
(2)幂函数 1在区间,上单调递减,且,
( 0.1) 1<( 0.8) 1．
【例3】
(1) 0.4与0.4；
(2) ( 0.1) 1与( 0.8) 1．
课堂探究
解题方法
1.比较幂大小的三种常用方法：
2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题．
比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小．
课堂探究
已知,求实数的取值范围．
解 设函数,则原不等式等价于,又因为是定义在区间,上的增函数,所以实数应满足：
解得,故实数的取值范围为,．
【例4】
课堂探究
求解函数不等式的解题方法：
主要是借助对应函数的单调性,将函数值大小关系转化为自变量大小关系,然后求解,求解过程中需要注意函数的定义域问题．
评价反馈
1. 下列函数中,定义域为R的是(　　)
A. B.
C. D.
解析 A,B选项中函数的定义域为,C选项中函数的定义域为R,D选项中函数y=,所以函数的定义域为,故选C．
C
2. 若幂函数α的图象过点(,),则(　　)
A. B. C.1 D.2
评价反馈
A
解析 因为α是幂函数,所以,将点(,)代入,得 =(),因此,故,应选A．
3. 下列幂函数中,是奇函数并且图象过点,,,的是( )
A. B.
C. D.
评价反馈
C
解析 由幂函数的性质可知答案为C．
4. 下列不等式在条件下不成立的是(　　)
A. B. C. D.
评价反馈
D
解析 设,该函数在区间,上单调递减,因为,所以,故A成立；
设,该函数在上单调递增,因为,所以,故B成立；
设x2,该函数在区间,上单调递减,因为,所以,故C成立；
设 ,该函数在区间,上单调递增,因为,所以,故D不成立．
5. 若函数xα的图象恒过点,,则实数的值为　　　　　．
评价反馈
解析 因为α是幂函数,图象恒过点,,所以α的图象恒过点,,所以,故．
课堂小结
问题思考
我们今天都讲了哪些知识
1.幂函数的概念．
2.常见幂函数的图象与性质．
3.研究函数性质的一般方法与步骤．
4.利用幂函数的性质解决相关问题．
布置作业
完成学案后的核心素养专练．
谢谢大家

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