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3.2.1　单调性与最大(小)值
第1课时
第三章　函数的概念与性质
数学
学习目标
①能够借助函数图象,理解函数单调性的定义,并掌握其符号表示．
②会用定义证明、判断函数的单调性．
③会求函数的单调区间．
学习重难点
重点：
函数单调性的符号语言刻画,求解函数单调区间,判断函数单调性．
难点：
增(减)函数的定义,符号语言的引入．
课堂导入
情境1
观察下列函数的图象,及其变化规律：
O
1
2
1
1
O
课堂导入
情境1
观察下列函数的图象,及其变化规律：
2
1
探究　函数的单调性
课堂探究
问题1
如何描述函数图象的“上升”、“下降”
x
y
O
探究　函数的单调性
课堂探究
“随的增大,相应的()随着减小”；
“随的增大,相应的()随着增大”．
如何描述函数图象的“上升”、“下降”
探究　函数的单调性
课堂探究
如何用与()来描述上升的图象
O
x
y
x2
x1
函数在给定区间上为增函数．
探究　函数的单调性
课堂探究
x2
x1
O
x
y
x2
x1
函数f (x)在给定区间上为减函数．
在给定区间上任取
如何用与()来描述上升的图象
探究　函数的单调性
课堂探究
函数各有怎样的单调性
解
探究　函数的单调性
课堂探究
思考
一般地,设函数的定义域为,区间：
如果1,2,当1< 2时,都有,那么就称函数在区间上单调．特别地,若函数在它的定义域上单调递增时,我们就称它为增函数．
探究　函数的单调性
课堂探究
思考
如果1,2,当1< 2时,都有,那么就称函数在区间上单调递减. 特别地,若函数在它的定义域上单调递减时,我们就称它为减函数．
函数具有单调性的的区间叫做单调区间．
O
探究　函数的单调性
课堂探究
问题2
设是区间上某些自变量的值组成的集合,而且 x1,x2∈,当时,都有,我们能说函数在区间上单调递增吗 你能举例说明吗
探究　函数的单调性
课堂探究
问题3
函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗 能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗
2
1
增区间为：
减区间为：
增区间为：
课堂探究
【例题1】
解
根据定义,研究函数的单调性．
课堂探究
1.取值： 任取,．
2.作差： (1)－(2)．
3.变形： 通常是因式分解和配方．
4.定号： 判断差(1)(2)的正负．
5.结论： 指出函数()在给定的区间上的单调性．
用定义证明函数的单调性的步骤：
课堂探究
【跟踪训练1】
解 (1)函数的定义域为
画出反比例函数=的图象．
(1)求解函数的定义域；
(2)在定义域上的单调性是怎样的 证明你的结论．
y
O
x
课堂探究
【跟踪训练1】
解 (2)函
= ．
②对 x1,x2∈(0,+∞),且x1由00,x1x2>0,k>0,所以f(x1)f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),此时,f(x)=在区间(0,+∞)上单调递减．
画出反比例函数=的图象．
(2)在定义域上的单调性是怎样的 证明你的结论．
课堂探究
【例题2】
解
．
体积减小时,压强将增大．
物理学中的玻意耳定律p=(k为正常数)告诉我们,对于一定质量的气体,当其温度不变时,体积V减小,压强p将增大.试对此用函数的单调性证明．
课堂探究
【例题3】
证明 ．
．
．
．
．
根据定义证明函数y=x+在区间上单调递增．
课堂探究
【跟踪训练2】
．
(1)根据定义证明函数f(x)=3x+2是增函数．
课堂探究
【跟踪训练2】
证明 ,且,有()．
由,得,所以<0,即,
所以函数在区间上单调递增．
(2)证明函数f(x)=在区间(∞,0)上单调递增．
评价反馈
解析
,故答案为B.
1. 函数在以下哪个区间上单调递减(　　)
A.(1,3) B.(3,0)
C.(1,+∞) D.(0,+∞)
B
解析 由图象可知A项、B项、D项正确,C项中,单调区间不能用“”连接,故答案为C．
2. 若定义在区间[5,5]上的函数f(x)的图象如图所示,则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　　)
A.函数在区间[5,3]上单调递增
B.函数在区间[1,4]上单调递增
C.函数在区间[3,1]∪[4,5]上单调递减
D.函数在区间[5,5]上不具有单调性
C
评价反馈
解析
故选A．
3. 若函数在上为增函数,且,则实数m的取值范
围是(　　)
A.(9,+∞) B.[9,+∞)
C.(∞,9) D.(∞,9]
A
评价反馈
解析 A项,当x>0时,y=x在区间(0,1)上单调递增；
B项,y==1+,由单调性定义可知其在区间(0,1)上是单调递减的；
C项,由定义可知该函数在R上为增函数；
D项,对称轴为x=,所以在区间(0,1)上不是单调递减的．故答案为B．
4. 下列函数中,在区间(0,1)上是单调递减的函数是 (　　)
A.y=|x| B.y=
C.y=1+x D.y=x2x
B
评价反馈
解 因为
,
5. 判断函数,x∈[1,6]的单调性．
评价反馈
课堂小结
问题思考
我们今天都讲了哪些知识
1.函数单调性的概念及符号表示．
2.利用单调性定义求解、证明函数的单调性．
布置作业
完成学案．
谢谢大家

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