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3.4　函数的应用(一)
第三章　函数的概念与性质
数学
学习目标
①能够应用函数知识解决实际生活中的问题．
②能够针对实际问题,收集数据,分析数据并建立合适的数学模型．
学习重难点
重点：
建立函数模型解决实际问题．
难点：
选择适当的方案和合适的函数模型解决实际问题．
(1)一次函数模型：,,
(2)反比例函数模型：,,
(3)二次函数模型：,,,
(4)幂函数模型：,,,,
(5)分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛．
课堂导入
常见的数学模型有哪些
课堂导入
下面通过一些实例感受它们的广泛应用,体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法．
首先我们回顾一个实例(教材3.1.2例8)：
2019年1月1日起,个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定,计算公式为：
个税税额扣除数 ①
应纳税所得额的计算公式为：
应纳税所得额
扣除 ②
课堂导入
其中,“基本减除费用”(免征额)为每年60 000元．
税率与速算扣除数见下表：
级数 全年应纳税所得额所在区间 税率(%) 速算扣除数
1 [0,36 000] 3 0
2 (36 000,144 000] 10 2 520
3 (144 000,300 000] 20 16 920
4 (300 000,420 000] 25 31 920
5 (420 000,660 000] 30 52 920
6 (660 000,960 000] 35 85 920
7 (960 000,+∞) 45 181 920
(1)设全年应纳税所得额为t,应缴纳个税税额为y,求,并画出图象；
课堂导入
函数图象如图所示．
y= ③
解析 根据题干中表格,可得函数的解析式为：
(2)小王全年综合所得收入额为117 600元,假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%,2%,1%,9%,专项附加扣除是9 600元,依法确定其他扣除是560元,那么他全年应缴纳多少综合所得个税
课堂导入
解析 根据②,小王全年应纳税所得额为
．
将的值代入③,得．
所以,小王应缴纳的综合所得个税税额为717.6元．
课堂探究
问题探究1
设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与上面实例相同,全年综合所得收入额为单位：元,应缴纳综合所得个税税额为单位：元．
(1)求关于的函数解析式；
(2)如果小王全年的综合所得由117 600元增加到153 600元,那么他全年应缴纳多少综合所得个税
课堂探究
解 (1)由个人应纳税所得额计算公式,可得：
令0,得87 700．
根据个人应纳税所得额的规定可知,当0 x 87 700时,=0．
所以,个人应纳税所得额t关于综合所得收入额的函数解析式为：
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
．
课堂探究
所以,函数解析式为：
课堂探究
(2)如果小王全年的综合所得由117 600元增加到153 600元,那么他全年应缴纳多少综合所得个税
课堂探究
解 (2)当x=153 600时,
y=0.08×153 6009 536=2 752．
所以,小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为2 752元．
解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行
第一步：分析、联想、转化、抽象；
第二步：建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题；
第三步：解答数学问题,求得结果；
第四步：把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答．
而这四步中,最为关键的是把第二步处理好．只要把函数模型建立妥当,所有的问题即可在此基础上迎刃而解．
课堂探究
问题探究2
一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的关系如下图所示,
(1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义；
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(单位：km)与时间t的函数解析式,并画出相应的图象．
课堂探究
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30
20
10
解 (1)阴影部分的面积为：
50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360．
阴影部分的面积表示汽车在这5h内行驶的路程为360km．
课堂探究
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解 (2)根据图,有
s
这个函数的图象如图所示．
课堂探究
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2100
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1 2 3 4 5
解题方法(分段函数注意事项)
1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏．
2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
3.分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围,最后比较再下结论．
课堂探究
评价反馈
1. 若用模型描述汽车紧急刹车后滑行的距离(单位：m)与刹车时的速率(单位：km/h)的关系,而某种型号的汽车在速率为60 km/h时,紧急刹车后滑行的距离为20 m．如果在限速为100 km/h的高速公路上,一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50 m,那么这辆车是否超速行驶
解 没有超速．由题意可知,当,
将数据代入函数得a=,
所以x2,
将代入得<,
所以这辆车没有超速．
2. 某广告公司要为客户设计一幅周长为l(单位：m)的矩形广告牌,如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大
解 设矩形其中一条边长为x,广告牌面积为S,则
当时,S取得最大值,所以当广告牌是边长为的正方形时,广告牌的面积最大．
评价反馈
3. 某公司生产某种产品的固定成本为150万元,而每件产品的可变成本为2 500元,每件产品的售价为3 500元．若该公司所生产的产品全部销售出去,则
(1)设总成本为y1(单位：万元),单位成本为y2(单位：万元),销售总收入为y3(单位：万元),总利润为y4(单位：万元),分别求出它们关于总产量x(单位：件)的函数解析式；
(2)根据所求函数的图象,对这个公司的经济效益做出简单分析．
评价反馈
解 (1)
(2)画出的图象如图．
由图象可知,当时,该公司亏损；
当时,该公司不赔不赚；当时,该公司盈利．
评价反馈
课堂小结
问题思考
我们今天都讲了哪些知识
1.解函数相关应用题,首先选择合适的数学模型,然后由已知条件求出其解析式,再借助于解析式解决相关变量的求值运算问题,最后回归到实际问题上来．
2.数学建模的一般过程：
分析实际问题
→确定研究对象
→选取函数模型
→求取相关变量
→回归实际问题．
布置作业
完成学案后的核心素养专练．
谢谢大家

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