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4.3.2　对数的运算
第四章　指数函数与对数函数
数学
学习目标
①通过指数幂的运算性质推导出对数的运算性质．
②掌握对数换底公式,能够用换底公式简化问题．
学习重难点
重点：
对数的运算性质,换底公式,对数恒等式及其应用．
难点：
正确使用对数的运算性质和换底公式．
课堂导入
1. 对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
指数
对数
幂
真数
底数
(2)底数a的范围是________________．
a>0,且a≠1
课堂导入
2. 指数幂的运算性质：
(1) =
(2)
(3)
3. 对数的性质：
(1)零和负数没有对数,即真数；
(2)的对数为即
(3)底数的对数等于1,即．
课堂导入
问题
在引入对数之后,自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究
我们知道了对数与指数间的关系,能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢
课堂探究
探究一　对数的运算性质
将指数式,化为对数式,log,log．
结合指数的运算性质能否将化为对数式
=log
它们之间有何关系
从而得出
．
课堂探究
探究一　对数的运算性质
结合前面的推导,由指数式又能得到什么样的结论
由
得
．
课堂探究
探究一　对数的运算性质
结合前面的推导,由指数式又能得到什么样的结论
由
得
课堂探究
对数的运算性质
如果,且,,,那么
(1)loglog+log；
(2)loglogloga；
(3)loglog()．
方法感知
(1)log84+log82=
(2)log510 log52=
(3)lg=
(4)若ln a=0.2,则ln=
lg 10=．
log88=1．
log55=1．
ln e ln a=1 0.2=0.8．
课堂探究
思考1
在积的对数运算性质中,三项的乘积式log是否适用 你能得到一个怎样的结论
适用,loglogloglog,积的对数运算性质可以推广到真数是个正数的乘积．
课堂探究
【例题1】
计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2+2lg 2(lg 2)2；(2)；(3)log5352log5+log57 log51.8．
解 (1)原式=(lg 5)2+(2lg 2)lg 2=(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2=(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2=(lg 5+lg 2)·lg 5+lg 2=lg 5+lg 2=1．
(2)原式===．
(3)原式=log5(5×7)2(log57log53)+log57log5=log55+log572log57+2log53+
log572log53+log55=2log55=2．
课堂探究
反思感悟
对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：对数式的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法
①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
课堂探究
【跟踪训练1】
计算下列各式的值：
(1)log5；
(2)log2(32×42)．
解 (1)log5log5625=log554=．
(2)log2(32×42)=log232+log242=5+4=9．
课堂探究
【例题2】
用logax,logay,logaz表示下列各式：
(1)loga(xy2)；(2)loga(x)；(3)loga．
解 (1)loga(xy2)=logax+logay2=logax+2logay．
(2)loga(x)=logax+loga=logax+logay．
(3)logaloga[logax-loga(yz2)]=(logax-logay-2logaz)．
对对数式进行计算、化简时,一要注意准确应用对数的性质和运算性质,二要注意取值范围对符号的限制．
课堂探究
【跟踪训练2】
用logax,logay,logaz表示下列各式：
(1)loga(x3y5)；(2)loga．
解 (1)loga(x3y5)=logax3+logay5=3logax+5logay．
(2)loga=logaloga(yz)=loga-(logay+logaz)=logax-logay-logaz．
课堂探究
探究二　换底公式
思考2：
假设=x,则log25=xlog23,即log25=log23x,可得3x=5,由指数和对数的关系可得x=log35,因此=log35．如果将底数换成c(c>0,且c≠1)等式还成立吗
提示 成立,推导如下：
假设=x,则logc5=xlogc3,即logc5=logc3x,
可得3x=5,由指数和对数的关系可得x=log35,因此=log35．
课堂探究
探究二　换底公式
思考3：
这个等式能否推广到任意底数的对数式 会得到什么样的式子 你能写出它的推导过程吗
提示 将公式进行推广,可得logab=(a>0,且a≠1；c>0,且c≠1；b>0)
推导如下：
假设=x,则logcb=xlogca,即logcb=logcax,可得ax=b,
由指数和对数的关系可得x=logab,故=logab．
课堂探究
探究二　换底公式
设 logab=x,则ax=b,于是有 logcax=logcb．
根据对数运算性质(3)有：xlogca=logcb,
即：,且且
这个式子叫做对数的换底公式,简称为换底公式．
★ 换底公式的意义：把不同底数问题转化为同底数问题,也可以反过来用．
★ 换底公式的条件：公式中每一个对数式都有意义．
★ 换底公式换的底：依据具体问题需要而变．
课堂探究
归纳总结
换底公式常见的推论．
(1)lolog；
(2)lo log,特别地,log；
(3)loglog 1；
(4)log·loglog log
课堂探究
【例题3】
计算：(1)(log43+log83)(log32+log92) lo；
(2)(log43 log83)(log32 log92)．
解 (1)(log43+log83)(log32+log92) lo
=()(log32+) =(log23+log23)(log32+log32)+log232
=log23×log32+．
课堂探究
【例题3】
计算：(1)(log43+log83)(log32+log92) lo；
(2)(log43log83)(log32log92)．
解 (2)(log43log83)(log32log92)
=()()=()()==．
课堂探究
【跟踪训练3】
求值．
解
=lo·lo9=lo·3lo
= ·log32·3log23= ．
课堂探究
1. 换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题．
2. 利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：
3.应用换底公式时注意：
(1)换底公式的正用、逆用以及变形应用；
(2)题目中有指数式和对数式时,要注意指数式与对数式统一形式．
课堂探究
【例题4】
已知log189=a,18b=5,求log3645．(用a,b表示)
解 (方法1)∵log189=a,18b=5,∴log185=b,
于是log3645=．
(方法2)∵log189=a,18b=5,∴lg 9=alg 18,lg 5=blg 18,
∴log3645=．
探究三　对数式与指数式的综合运用　
课堂探究
【延伸拓展】
已知log23=a,log37=b,用a,b表示log4256．
解 ∵log23=a,则=log32,又∵log37=b,
∴log4256=．
课堂探究
利用对数式与指数式互化求值的方法：
　　在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化．
课堂探究
【跟踪训练4】
(1)设3a=4b=36,求的值；
(2)设2x=5y=m,且=2,则m=　　　　．
解 (1)(方法1)由3a=4b=36,得a=log336,b=log436,由换底公式得=log363,=log364,
故=2log363+log364=log3636=1．
(方法2)由3a=4b=36,两边取以6为底数的对数,得alog63=blog64=log636=2,
则=log63,log64=log62,故=log63+log62=log66=1．
(2)∵2x=5y=m,两边取常用对数,得x=log2m=,y=log5m=,
∴=2,∴lg m=,∴m=．
评价反馈
1. 下列等式成立的是( )
A. log2(84)=log28 log24 B. =log2
C. log223=3log22 D. log2(84)=log28+log24
C
解析 对于A：log28-log24=log2=1,故A不正确；
对于B：log2=log22=1,≠1,故B不正确；
对于C：∵logaMn=nlogaM,∴log223=3log22,故C正确；
对于D：log2(8+4)=log212,log28+log24=log2(8×4)=log225=5≠log212,故D不正确．
评价反馈
2. 2log6+3log6=( )
A. log6 B. 2 C. 0 D. 1
D
解析 2log6+3log6=log62+log63=log66=1,故选D．
评价反馈
3. 若lg 2=a,lg 3=b,则log125=(　　)
A. B. C. D.
C
解析 log125=．故选C．
评价反馈
4. 若logm2=a,logm3=b,则ma+2b的值为　　　　　．
18
解析 因为logm2=a,logm3=b,所以ma=2,mb=3,即ma+2b=ma×(mb)2=2×32=18．
评价反馈
5. 求值：2log32log3log38．
解 2log32log3log38
log34log3log383
log3(4××8)3
log393
=23
1．
课堂小结
本节课我们主要学习了哪些内容
1. 对数的运算性质．
2. 对数换底公式．
3. 对数运算性质的综合运用,应掌握变形技巧：
(1)各部分变形要化到最简形式,同时注意分子、分母的联系．
(2)要避免错用对数运算性质．
布置作业
完成教材第127页习题4.3第3,4,5题．
谢谢大家

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