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4.4.2 对数函数的图象和性质
第四章 指数函数与对数函数
数学
学习目标
①掌握对数函数的图象和性质.
②会运用对数函数的图象和性质解决简单问题.
学习重难点
重点：
对数函数的图象和性质.
难点：
对底数的分类，如何由图象、解析式归纳对数函数的性质.
课堂导入
情境
溶液酸碱度是通过pH计量的. pH的计算公式为pH= lg[H+]，
其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
例如，在我国规定纯净水pH只要在6.5~8.5之间即是合格产品.如果水的pH过低则会有腐蚀作用，而pH过高就会影响味觉，有肥皂味，因此饮用纯净水的pH都是控制在6.5~8.5之间.
又如，人体的胃酸中[H+]≈2.5×10 2摩尔/升.
课堂导入
思考1　若某品牌的纯净水中[H+]≈10 7摩尔/升，则
它的pH是多少
它是合格产品吗
人体的胃酸pH又是多少
7　是　1.60
问题
课堂导入
思考2　请同学们猜想：随着溶液中[H+]的增大，溶液的酸性是越强还是越弱呢 想要知道溶液的酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间有什么样的变化关系，需要研究什么呢
若记溶液酸碱度为y，氢离子浓度为x，写出y关于x的函数解析式.
随着溶液中[H+]的增大，pH减小，溶液的酸性越强；
变化关系为y= lg x，需要研究对数函数y=lg x的单调性.
问题
课堂导入
思考3　要研究一个函数的性质，我们已经有了哪些经验
先根据解析式画出函数的图象，
再借助图象归纳概括其性质.
问题
课堂探究
利用“描点法”作函数y=log2x和y=lox的图象.
作图步骤：
1. 列表 2. 描点 3. 连线
探究一　函数y=log2x和y=lox的图象和性质
课堂探究
描点
连线
2
1
1
2
1
2
4
0
y
x
3
y=log2x
x … 1/4 1/2 1 2 4 …
…
…
2 1 0 1 2 ...
列表
探究一　函数y=log2x和y=lox的图象和性质
课堂探究
描点
连线
x … 1/4 1/2 1 2 4 …
…
…
2 1 0 1 2 ...
2 1 0 1 2 …
列表
2
1
1
2
1
2
4
0
y
x
3
y= lox
y=log2x
探究一　函数y=log2x和y=lox的图象和性质
课堂探究
2
1
1
2
1
2
4
0
y
x
3
y= lox
y=log2x
思考　观察函数y=log2x和y=lox的图象，说出它们的性质.
(1)函数y=log2x和y=lox的图象都在y轴的右边；
(2)图象都经过点(1，0)；
(3)函数y=log2x的图象自左至右呈上升趋势；函数y=lox的图象自左至右呈下降趋势；
(4)两个函数的图象关于x轴对称.
探究一　函数y=log2x和y=lox的图象和性质
课堂探究
选取底数a(a＞0，且a≠1)的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象. 观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性
你能概括出对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的值域和性质吗
探究二　对数函数的图象和性质
课堂探究
y=logax(a>1)的图象
y
O
x
(1,0)
x=1
y=logax(a>1)
y=logax(0y
O
x
x=1
(1,0)
y=logax(0探究二　对数函数的图象和性质
课堂探究
项目 0＜a＜1 a＞1
图 象
性 质 ⑴定义域： ⑵值域： ⑶过特殊点： ⑷单调性： ⑷单调性：
(0，+∞)
R
过定点(1，0)，即 x=1时，y=0
在(0，+∞)上是减函数
在(0，+∞)上是增函数
探究二　对数函数的图象和性质
课堂探究
探究二　对数函数的图象和性质
对数函数的图象与底数的关系
(1)对于底数都大于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越接近x轴；
对于底数都大于0且小于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越远离x轴.
(2)作出直线y=1，它与各图象交点的横坐标即为各对数函数的底数的大小，如图所示.
规律方法
课堂探究
对数函数的性质口诀：
对数增减有思路，函数图象看底数；
底数只能大于0，等于1来也不行；
底数若是大于1，图象从下往上增；
底数0到1之间，图象从上往下减；
无论函数增和减，图象都过点.
课堂探究
例1　(1)(多选题)若函数y=logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为( )
A. 5 B.
C. e D.
(2)y=logax+1(a>0，且a≠1)的图象过定点___________.
AC
(1，1)
解析 (1)由题图可知函数的图象呈上升趋势，即函数为增函数，所以底数大于1.故选AC.
(2)当x=1时，y=loga1+1=1，故y=logax+1(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，1).
课堂探究
【跟踪训练1】
(1)当a>1时，在同一直角坐标系中，函数y=a x与y=logax的大致图象是( )
(2)对数函数f(x)=loga(2x 5)的图象恒过定点__________.
C
(3，0)
解析 (1)∵a>1，∴0<<1，∴y=a x是减函数，y=logax是增函数，故选C.
(2)令2x 5=1，得x=3，而f(3)=loga1=0.
故函数f(x)=loga(2x 5)的图象恒过定点(3，0).
课堂探究
思考　(1)在同一直角坐标系内用描点法画出函数y=2x的图象与函数y=log2x的图象之后，说出这两个函数图象之间有什么关系.
探究三　反函数
①图象如图；
②图象关于直线y=x对称.
课堂探究
(2)对数函数中两个变量和函数值的取值范围分别是什么 有什么关系
对数函数中变量x的取值范围与指数函数中变量y的取值范围相同，即(0，+∞).对数函数中变量y的取值范围与指数函数中变量x的取值范围相同，即为R.
探究三　反函数
课堂探究
反函数的概念
一般地，指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.
特别提醒　
(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
(2)如果点P0(x0，y0)在函数y=ax的图象上，那么点(y0，x0)在函数y=logax的图象上.
探究三　反函数
课堂探究
例2　(1)如图所示，曲线是对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象，已知a取，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次为(　　)
A. B.
C. D.
A
解析 (1)作直线y=1与四条曲线分别交于四点，
由y=logax=1，得x=a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，
所以C1，C2，C3，C4对应的a值分别为.
课堂探究
例2　(2)若函数y=log3x的反函数为y=f(x)，则f(2)= (　　)
A.9 B.18
C.32 D.36
A
解析 (2)因为函数y=log3x的反函数为y=f(x)，
所以f(x)=3x，
所以f(2)=32=9，
故选A.
课堂探究
【跟踪训练2】
(1)若函数f(x)=2x的反函数是g(x)，则g(2)的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 ∵函数f(x)=2x的反函数是g(x)，
∴g(x)=log2x(x>0)，∴g(2)=log22=1.
故选A.
A
课堂探究
【跟踪训练2】
(2)如图，曲线C1，C2，C3，C4分别是对数函数y=lox，y=lox，y=lox，y=lox的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗
(2)解 作直线y=1(图略)，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数函数的底数，由此可判断出各底数的大小，则a4>a3>1>a2>a1>0.
课堂探究
例3　比较下列各题中两个值的大小：
(1)log23.4，log28.5； (2)log0.31.8，log0.32.7； (3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1).
解 (1)log23.4和log28.5可看作函数y=log2x的两个函数值.
因为底数2>1，对数函数y=log2x是增函数，且3.4<8.5，
所以log23.4(2)log0.31.8和log0.32.7可看作函数y=log0.3x的两个函数值.
因为底数0.3<1，对数函数y=log0.3x是减函数，且1.8<2.7，
所以log0.31.8>log0.32.7.
课堂探究
例3　比较下列各题中两个值的大小：
(1)log23.4，log28.5； (2)log0.31.8，log0.32.7； (3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1).
(3)loga5.1和loga5.9可看作函数y=logax的两个函数值.
对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，
因此需要对底数a进行讨论.
当a>1时，因为函数y=logax是增函数，且5.1<5.9，
所以loga5.1当0所以loga5.1>loga5.9.
课堂探究
比较对数值的大小
当底数相同，真数不同时，利用对数函数的增减性比较大小.
当底数不同，真数不同时，可考虑这些数与1或0的大小.
注意：当底数不确定时，要对底数与1的大小进行分类讨论.
归纳总结
课堂探究
【跟踪训练3】
比较下列各题中两个值的大小：
(1)lg 6，lg 8； (2)log0.56，log0.54； (3)lo2与lo2； (4)log23与log54.
解 (1)lg 6和lg 8可看作函数y=lg x的两个函数值.
因为函数y=lg x在(0，+∞)上是增函数，且6<8，
所以lg 6(2)log0.56和log0.54可看作函数y=log0.5x的两个函数值.
因为函数y=log0.5x在(0，+∞)上是减函数，且6>4，
所以log0.56课堂探究
【跟踪训练3】
比较下列各题中两个值的大小：
(1)lg 6，lg 8； (2)log0.56，log0.54； (3)lo2与lo2； (4)log23与log54.
(3)lo2=，lo2=. log2和log2可看作函数y=log2x的两个函数值.
因为对数函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，且，
所以0>log2>log2，所以.
所以lo2(4)取中间值1，因为log23>log22=1=log55>log54，
所以log23>log54.
课堂探究
例4　(1)已知loga>1，求a的取值范围；
(2)已知log0.7(2x)解 (1)由loga>1，得loga>logaa.
①当a>1时，有a<，此时无解.
②当0故a的取值范围是(，1).
课堂探究
例4　(1)已知loga>1，求a的取值范围；
(2)已知log0.7(2x)(2)∵函数y=log0.7x在(0，+∞)上为减函数，
∴由log0.72x得解得x>1.
∴x的取值范围是(1，+∞).
归纳总结
课堂探究
常见对数不等式的2种解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助对数函数y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助对数函数y=logax的单调性求解.
课堂探究
【跟踪训练4】
已知loga(3a 1)恒为正，求a的取值范围.
解 由题意知loga(3a 1)>0=loga1.
当a>1时，y=logax是增函数，由解得a>，所以a>1；
当0综上所述，a的取值范围是()∪(1，+∞).
课堂探究
例5　求下列函数的值域：
(1)y=log2(x2+4)；
(2)y=lo(3+2x x2).
解 (1)y=log2(x2+4)的定义域是R.
因为x2+4≥4，
所以log2(x2+4)≥log24=2，
所以y=log2(x2+4)的值域是[2，+∞).
课堂探究
例5　求下列函数的值域：
(1)y=log2(x2+4)；
(2)y=lo(3+2x x2).
(2)设u=3+2x x2= (x 1)2+4≤4.
因为u>0，所以0又y=lou在(0，+∞)上是减函数，
所以lou≥lo4= 2，
所以y=lo(3+2x x2)的值域是[ 2，+∞).
归纳总结
课堂探究
对数型函数的值域与最值
(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解.
(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，
当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值.
课堂探究
【跟踪训练5】
已知f(x)=2+log3x，x∈[1，9]，求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及此时x的值.
解 y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2 3.
∵函数f(x)的定义域是[1，9]，
∴要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义，x需满足，
∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，∴6≤y≤13.
∴当x=3时，函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13.
评价反馈
1. 若lg(2x4)≤1，则x的取值范围是( )
A. (∞，7] B. (2，7] C. [7，+∞) D. (2，+∞)
B
2. 若lomA. nD
3. 函数f(x)=|lox|的单调递增区间是( )
A. (0， ] B. (0，1] C. (0，+∞) D. [1，+∞)
D
评价反馈
4. 若实数a=log45，b=()0，c=log30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A. bC. cD
5. 函数f(x)=()x的反函数是　 　　；函数g(x)=log8x的反函数是　　　　　.
y=lox
y=8x
课堂小结
问题思考
问题1　研究函数的一般方法是什么
问题2　简述对数函数的性质.
问题3　本节课的学习用到了哪些思想方法
课堂小结
1．对数函数的图象及性质
知识归纳
项目 0＜a＜1 a＞1
图 象
性 质 ⑴定义域： ⑵值域： ⑶过特殊点： ⑷单调性： ⑷单调性：
(0，+∞)
R
过定点(1，0)，即 x=1时，y=0
在(0，+∞)上是减函数
在(0，+∞)上是增函数
课堂小结
2. 反函数
一般地，指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.
3. 思想方法
类比：类比指数函数的研究方法；
数形结合：研究函数图象和性质.
知识归纳
布置作业
完成教材第135页练习第1，2，3题；
第140~141页习题4.4第1，2，7，12，13题.
谢谢大家

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