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4.4.1　对数函数的概念
第四章　指数函数与对数函数
数学
学习目标
①理解对数函数的定义,会求对数函数的定义域．
②了解对数函数与指数函数之间的联系,培养观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力；渗透类比等基本数学思想方法．
③在学习对数函数的过程中,认识事物的特殊性与一般性之间的关系,培养数学应用的意识,感受数学、理解数学、探索数学,提高学习数学的兴趣,了解对数函数在生产实际中的简单应用．
学习重难点
重点：
对数函数的概念、求对数函数的定义域．
难点：
对数函数与指数函数的关系．
当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率),大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”．
按照上述变化规律,生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系
课堂导入
情境1
设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p,
如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位,
那么：
死亡1年后,生物体内碳14含量为
死亡2年后,生物体内碳14含量为
死亡3年后,生物体内碳14含量为
……
死亡5730年后,生物体内碳14含量为
(1 p)1；
(1p)2 ；
(1 p)3 ；
(1 p)5730 ．
课堂导入
情境1
根据已知条件,,从而,所以
设生物死亡年数为,死亡生物体内碳14含量为,那么,
即, ．
这也是一个函数,指数是自变量．死亡生物体内碳14含量每年都以减率衰减．像这样,衰减率为常数的变化方式,我们称为指数衰减．因此,死亡生物体内碳14含量呈指数衰减．
在上述问题中,我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题．对这样的问题,在引入对数后,我们还可以从另外的角度,对其蕴含的规律作进一步的研究．
情境1
已知死亡生物体内碳14的含量随死亡时间的变化而衰减的规律,反过来,已知死亡生物体内碳14的含量,如何得知它死亡了多长时间呢
进一步地,死亡时间是碳14的含量的函数吗
课堂导入
根据指数与对数的关系,由(≥0)得到
如图过轴正半轴上任意一点(0,)(≤ 1)作轴的平行线,
与(≥0)的图象有且只有一个交点(,)．
这就说明,对于任意一个,,通过对应关系
,在,上都有唯一确定的数
和它对应,所以也是的函数．
也就是说,函数刻画了
时间随碳14含量的衰减而变化的规律．
情境1
课堂导入
课堂探究
探究一　对数函数
根据指数与对数的关系,由( ＞0,且≠ 1)可以得到
( ＞0,且≠１),因此,也是的函数．
通常,我们用表示自变量, 表示函数．
为此,将( ＞0,且≠1)中的字母和对调,
写成( ＞0,且≠1)．
归纳总结
函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞)．
对概念的深度剖析：
(1)对数函数中的底数和对数运算中的底数相同,都是a>0,且a≠1．
(2)对数的运算中N>0,对数函数中的自变量x>0,对数函数的定义域是(0,+∞)．
(3)对数函数的形式：
　①系数：对数符号前面的系数是1；
　②底数：a>0,且a≠1；
　③真数：对数的真数仅有自变量x．
课堂探究
课堂探究
探究二　对数函数概念的应用
【例题1】
(1)下列给出的函数,其中是对数函数的为( )
①y=log5x+1；②y=logax2(a>0,且a≠1)；③y=lox；
④y=log3x； ⑤y=logx(x>0,且x≠1)；⑥y=lox．
A. ③④⑤ B. ②④⑥
C. ①③⑤⑥ D. ③⑥
D
解析 (1)由对数函数的定义知,③⑥是对数函数,故选D．
课堂探究
探究二　对数函数概念的应用
【例题1】
(2)若函数y=log(2a 1)x+(a25a+4)是对数函数,则a=　　　　　．
4
解析 (2)因为函数y=log(2a 1)x+(a25a+4)是对数函数,
所以 解得a=4．
规律方法
判断一个函数是对数函数的方法
课堂探究
(1)(多选题)下列函数是对数函数的是( )
课堂探究
【跟踪训练1】
AD
A. y=logax(a>0,且a≠1) B. y=log22x
C. y=log2x+1 D. y=lg x
解析 (1)根据对数函数的定义可知A,D选项中的函数为对数函数．
(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,(8)=　　　　．
课堂探究
【跟踪训练1】
3
解析 (2)因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(8)=f(8)=log28=3．
(3)若函数f(x)=(a2+a5)logax是对数函数,则a=________．　　　　　
课堂探究
【跟踪训练1】
2
解析 (3)由a2+a5=1,得a=3,或a=2．
又a>0,且a≠1,所以a=2．
课堂探究
探究三　对数函数的定义域
求下列函数的定义域：
【例题2】
解 (1)要使函数有意义,需满足
解得1(1)f(x)=+ln(x+1)；
(2)f(x)=log(2x 1)(4x+8)．
课堂探究
探究三　对数函数的定义域
求下列函数的定义域：
解 (2)由题意得即解得故函数f(x)的定义域为{x|(1)f(x)=+ln(x+1)；
(2)f(x)=log(2x 1)(4x+8)．
【例题2】
规律方法
求对数型函数的定义域时应遵循的原则：
课堂探究
(1)分母不能为0；
(2)根指数为偶数时,被开方数非负；
(3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1．
注意：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求与对数函数有关的定义域问题时,要注意对数函数的概念,若自变量在真数上,则必须保证真数大于0；若自变量在底数上,应保证底数大于0且不等于1．
求下列函数的定义域
课堂探究
【跟踪训练2】
(1)f(x)=lg(x 2)+
(2)f(x)=log(x+1)(164x)．
解 (1)要使函数有意义,需满足解得x>2,且x≠3,
故所求函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞)．
求下列函数的定义域
课堂探究
【跟踪训练2】
(1)f(x)=lg(x 2)+
(2)f(x)=log(x+1)(164x)．
解 (2)要使函数有意义,需满足
解得1课堂探究
探究四　对数函数的实际应用
假设某地初始物价为1,每年以5%的增长率递增,经过t年后的物价为．
(1)该地的物价经过几年后会翻一番
(2)填写下表,并根据表中的数据,说明该地物价的变化规律．
【例题3】
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
课堂探究
探究四　对数函数的实际应用
(1)该地的物价经过几年后会翻一番
【例题3】
解 (1)由题意可知,经过t年后物价为w=(1+5%)t,
即w=1.05t(t∈[0,+∞))
由对数与指数间的关系,可得t=log1.05w,w∈[1,+∞)．
由计算工具可得,当w=2时,t≈14．
所以,该地区的物价大约经过14年后会翻一番．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
课堂探究
探究四　对数函数的实际应用
(2)填写下表,并根据表中的数据,说明该地物价的变化规律．
【例题3】
解 (2)根据函数t=log1.05w,w∈[1,+∞),利用计算工具,可填写表格．
由表中的数据可以发现,该地区的物价随时间的增长而增长,但大约
每增加1所需要的年数在逐渐缩小．
14 23 28 33 37 40 43 45 47
已知集合A={1,2,3,4,···},集合B={2,4,8,16,···},下列表达式能建立从集合A到集合B的函数关系的是　　　　　．
课堂探究
【跟踪训练3】
①y=2x ②y=x2 ③y=log2x ④y=2x
解析 观察集合A和集合B的数据,猜测其对应关系为以2为底的指数函数,将数据依次代入函数y=2x进行检验,发现都满足该函数的解析式,故选①．
①
1. 下列函数中,定义域是R的是( )
评价反馈
A. y= B. y=log2x
C. y=x3 D. y=
C
解析 函数y=的定义域是[0,+∞),函数y=log2x的定义域是(0,+∞),函数y=x3的定义域是R,函数y=的定义域是{x|x≠0}．
2. 函数f(x)=log2(x2+2x 3)的定义域是( )
评价反馈
A. [3,1] B. (3,1)
C. (∞,3]∪[1,+∞) D. (∞,3)∪(1,+∞)
D
解析 由题意,得x2+2x3>0,
解得x>1,或x<3,
所以函数f(x)的定义域是(∞,3)∪(1,+∞)．
3. 若函数f(x)= 则f (8)=　　　,f ( f (8)f (2))=　　　．
评价反馈
4
解析 因为f(x)=所以f (8)=1+log28=4,
f (2)=(2)+2=4,所以f ( f (8)f(2))=f(0)=420=3．
3
课堂小结
今天我们学习了什么
1.对数函数的概念及与指数函数的关系．
2.对数函数的定义域．
3.对数的应用．
布置作业
完成教材第131页练习第1,2题；第140页习题4.4第1,3,5题．
谢谢大家

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