资源简介

4.5.2　
用二分法求方程的近似解
第四章 指数函数与对数函数
数学
学习目标
①借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.
②经历探索用二分法求方程近似解的过程，从中感受逐步逼近的数学思想，提升数学抽象、数学运算核心素养.
③在探索过程中感受“近似与精确”的相对统一，并体验成功的乐趣.
学习重难点
重点：
用“二分法”求方程的近似解.

难点：
方程近似解所在初始区间的确定，利用二分法求给定精确度的方程的近似解.
课堂导入
情境——“假币”的发现
在24枚崭新的金币中，混入了一枚外表相同但重量较轻的假币，现在只有一台天平，请问：需要称几次就可发现这枚假币?
第一次
假
假
第二次
第三次
第四次
课堂导入
思想：一分为二，逐步缩小范围，逼近准确值.
课堂导入
什么是函数的零点?它与对应方程的解有何关系?
对于一般函数????=????(????)，我们把使????(????)=0的实数????叫做函数????=????(????)的零点.
?
方程????(????)=0
的实数解
?
函数????=????(????)的零点
?
函数????=????(????)的图象与x轴的公共点的横坐标
?
同有无，值相等，个相同
复习情境
课堂导入
什么是函数零点存在定理?其作用是什么?
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.
复习情境
函数零点存在定理可以用来判定函数????=????(????)零点(即方程????(????)=0的解)的存在性及零点所存在的大致区间，还可以进一步解决我们前面提到的问题：求方程的????(????)=0的近似解.
?
思考1　我们已经知道，函数f(x)=ln x+2x?6在区间(2，3)内存在一个零点.进一步的问题是，如何求出这个零点呢?
如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值.为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.
课堂探究
a
b
探究一　二分法的概念
课堂探究
合作探究：
取区间(2，3)的中点2.5，用计算工具算得f(2.5)≈?0.084.
因为f(2.5)f(3)<0，所以零点在区间(2.5，3)内.
再取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算工具算得f(2.75)≈0.512.
因为f(2.5)f(2.75)<0，所以零点在区间(2.5，2.75)内.
由于(2，3)?(2.5，3)?(2.5，2.75)，所以零点所在的范围变小了.
如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小.
探究一　二分法的概念
课堂探究
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA} 零点所在区间(????，????)
中点的值????
函数????(????)的近似值
精确度|?????????|
(2，3)
2.5
?0.084
1
(2.5，3)
2.75
0.512
0.5
(2.5，2.75)
2.625
0.215
0.25
(2.5，2.625)
2.562 5
0.066
0.125
(2.5，2.562 5)
2.531 25
?0.009
0.0625
(2.531 25，2.562 5)
2.546 875
0.029
0.03125
(2.531 25，2.546 875)
2.539 062 5
0.010
0.015625
(2.531 25，2.539 062 5)
2.535 156 25
0.001
0.007813
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
(2，3)
2.5
?0.084
1
(2.5，3)
2.75
0.512
0.5
(2.5，2.75)
2.625
0.215
0.25
(2.5，2.625)
2.562 5
0.066
0.125
(2.5，2.562 5)
2.531 25
?0.009
0.0625
(2.531 25，2.562 5)
2.546 875
0.029
0.03125
(2.531 25，2.546 875)
2.539 062 5
0.010
0.015625
(2.531 25，2.539 062 5)
2.535 156 25
0.001
0.007813
如下表所示，重复步骤，零点所在的范围越来越小.
探究一　二分法的概念
课堂探究
我们可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值.为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值.
例如，当精确度为0.01时，因为|2.539 062 5?2.531 25|=0.007 812 5<0.01，
所以区间(2.531 25，2.539 062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值，
也可以将 x=2.531 25 作为函数 f(x)=ln x+2x?6 零点的近似值，
也即方程 ln x+2x?6=0 的近似解.
探究一　二分法的概念
课堂探究
探究一　二分法的概念
二分法的概念
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

判断一个函数能否用二分法的依据
其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.
课堂探究
思考2　(1)二分法所求出的方程的解都是近似解吗?
不是的，如函数f(x)=x?2用二分法求出的解就是精确解.
(2)是否所有的函数都可以用二分法求近似零点?
不是的，如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值，如f(x)=|x|.
探究一　二分法的概念
课堂探究
(3)用二分法最后一定能求出函数的零点吗?
不能，只有达到精确度后，所得区间内任一数才均可视为零点的近似值.
(4)二分法的解题原理是什么?
函数零点存在定理.
探究一　二分法的概念
课堂探究
解析 A中，函数无零点.B和D中，函数有零点，但它们在零点左右两侧的函数值符号均相同，因此它们都不能用二分法来求零点.而在C中，函数的图象是一条连续不断的曲线，图象与x轴有公共点，并且在零点的左右两侧的函数值符号相反，故选C.
例1　下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是(　　)
C
【跟踪训练1】
若函数f(x)的图象如图所示，则其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)
A.4，4 B.3，4
C.5，4 D.4，3
D
解析 函数的图象与x轴有4个公共点，所以零点的个数为4；左右两侧函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3.故选D.
课堂探究
课堂探究
思考3　(1)用二分法求函数零点的近似值时，函数需要满足什么条件?
函数需要满足的条件是：
①f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断；
②在区间[a，b]端点的函数值满足f(a)f(b)<0.
探究二　二分法的应用
课堂探究
探究二　二分法的应用
(2)在《庄子·天下》中有一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，
若给所取木棍规定一个长度，是否就可以停止取半?
同样给区间规定一个长度，是否也可以结束周而复始的运算?
可以，所以用二分法求函数零点的近似值时，规定了精确度.
课堂探究
给定精确度ε，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b=c；
③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a=c.
(4)判断是否达到精确度ε：
若|a?b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)~(4).
归纳新知
课堂探究
解 经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，
所以函数在区间(1，1.5)内存在零点x0.
取区间(1，1.5)的中点x1=1.25，经计算f(1.25)<0，
因为f(1.25)f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5).
重复上述步骤，使零点所在的范围越来越小，
得到函数的一个零点所在的区间，如下表：
例2　用二分法求函数f(x)=x3?x?1在区间[1，1.5]内零点的近似值(精确度为0.01).
课堂探究
则x0∈(1.320 312 5，1.328 125).
因为|1.328 125?1.320 312 5|=0.007 812 5<0.01，
所以函数f(x)=x3?x?1在区间[1，1.5]上零点的近似值可取为1.328 125.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA} 零点所在区间
中点的值
中点函数值符号
(1，1.5)
1.25
f(1.25)<0
(1.25，1.5)
1.375
f(1.375)>0
(1.25，1.375)
1.312 5
f(1.312 5)<0
(1.312 5，1.375)
1.343 75
f(1.343 75)>0
(1.312 5，1.343 75)
1.328 125
f(1.328 125)>0
(1.312 5，1.328 125)
1.320 312 5
f(1.320 312 5)<0
例2　用二分法求函数f(x)=x3?x?1在区间[1，1.5]内零点的近似值(精确度为0.01).
课堂探究
规律方法　
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，
逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，
终止计算，得到函数零点的近似值.
(3)确定函数的零点个数时，要结合函数的单调性.
【跟踪训练2】
证明函数f(x)=2x+3x?6在区间(1，2)内有唯一零点，并求出这个零点的近似值(精确度为0.1).
课堂探究
解 ∵f(1)=?1<0，f(2)=4>0，即f(1)f(2)<0，
又f(x)是增函数，∴函数f(x)=2x+3x?6在区间(1，2)内有唯一零点.设该零点为x0，则x0∈(1，2).取x1=1.5，f(1.5)≈1.328>0，
∵f(1)f(1.5)<0，∴x0∈(1，1.5).取x2=1.25，f(1.25)≈0.128>0，
∵f(1)f(1.25)<0，∴x0∈(1，1.25).取x3=1.125，f(1.125)≈?0.444<0，
∵f(1.125)f(1.25)<0，∴x0∈(1.125，1.25).取x4=1.187 5，f(1.187 5)≈?0.160<0，
∵f(1.187 5)f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5，1.25).
∵|1.25?1.187 5|=0.062 5<0.1，
∴可取x0=1.25，则函数的零点的近似值可取为1.25.
课堂探究
解 令f(x)=2x3+3x?3，经计算，f(0)=?3<0，
f(1)=2>0，因为f(0)f(1)<0，
所以函数f(x)在区间(0，1)内存在零点x0.
取区间(0，1)的中点0.5，f(0.5)<0，
因为f(0.5)f(1)<0，所以x0∈(0.5，1).
如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表：
例3　用二分法求方程2x3+3x?3=0的一个正实数近似解(精确度为0.1).
课堂探究
则x0∈(0.687 5，0.75).
因为|0.687 5?0.75|=0.062 5<0.1，
所以方程2x3+3x?3=0的一个精确度为0.1的正实数的近似解可取为0.687 5.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA} 零点所在区间
中点的值
中点函数值符号
(0，1)
0.5
f(0.5)<0
(0.5，1)
0.75
f(0.75)>0
(0.5，0.75)
0.625
f(0.625)<0
(0.625，0.75)
0.687 5
f(0.687 5)<0
例3　用二分法求方程2x3+3x?3=0的一个正实数近似解(精确度为0.1).
课堂探究
规律方法
用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复步骤.
因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算.右图就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图.
定义 f(x)
输入ε，a，b
f(a)f(c)<0?
b=c
|a?b|< ε?
输出解x=a
f(c)=0
a=c
是
否
a=c
是
是
否
否
开始
结束
????=????+????2
?
【跟踪训练3】
用二分法求方程2x+x=4在区间[1，2]内的近似解(精确度为0.2).
课堂探究
解 令f(x)=2x+x?4，则f(1)=2+1?4<0，f(2)=22+2?4>0.
则函数零点x0∈(1.375，1.5).
∵|1.375?1.5|=0.125<0.2，∴2x+x=4在区间[1，2]内的近似解可取为1.375.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA} 零点所在区间
中点的值
中点函数值符号
(1，2)
1.5
0.33>0
(1，1.5)
1.25
?0.37<0
(1.25，1.5)
1.375
?0.031<0
解析 令f(x)=log2x+x?2，则f(1)=log21+1?2=?1<0，f(2)=log22+2?2=1>0，
故f(1)f(2)<0，由函数零点存在定理可知，函数的零点在区间(1，2)内，
故方程log2x+x=2的近似解可以取的一个区间是(1，2).
故选B.
1. 用二分法求方程log2x+x=2的近似解时，可以取的一个区间是(　　)
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
B
评价反馈
评价反馈
解析 ∵第一次所取的区间是[?3，5]，
∴第二次所取的区间可能是[?3，1]，[1，5]，
∴第三次所取的区间可能是[?3，?1]，[?1，1]，[1，3]，[3，5].
故选C.
2. 若在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[?3，5]，则第三次所取的区间可能是(　　)
A.[1，5] B.[?2，1]
C.[1，3] D.[2，5]
C
解析 令f(x)=x3?2x?3，f(1)=?4<0，f(2)=1>0，f(1.5)=1.53?6<0，
所以确定的下一个有根的区间是(1.5，2).
3. 求方程x3?2x?3=0在区间(1，2)内的实数根，用二分法确定的下一个有根的区间是　　　　.?
(1.5，2)
评价反馈
4. 以下是用二分法求方程x3+3x?5=0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整.

解 设函数f(x)=x3+3x?5，其图象在定义域R上是一条连续不断的曲线，且f(x)在R上单调递　　　　(填“增”或“减”).?
先求f(0)=　　　，f(1)=　　　，f(2)=　　　.?
所以f(x)在区间　　　　内存在零点x0.填写下表：?
(可参考条件：f(1.125)<0，f(1.187 5)>0；符号填+、?)
评价反馈
(1，2)
?5
?
?1
?
9
增
4. 以下是用二分法求方程x3+3x?5=0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整.






因为　　　　　　　　　　　　　　<0.1，?
所以原方程的近似解可取为　　　　.?
评价反馈
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA} 区间
中点的值
中点函数值符号
区间长度




















4. 以下是用二分法求方程x3+3x?5=0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整.






因为　　　　　　　　　　　　　　<0.1，?
所以原方程的近似解可取为　　　　.?
评价反馈
|1.187 5?1.125|=0.062 5
1.187 5
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA} 区间
中点的值
中点函数值符号
区间长度
(1，2)
1.5
+
1
(1，1.5)
1.25
+
0.5
(1，1.25)
1.125
?
0.25
(1.125，1.25)
1.187 5
+
0.125
(1.125，1.187 5)
?
?
0.062 5
课堂小结
总结归纳
(1)知识：
二分法的思想和步骤
函数零点的分类
二分法的适用范围
(2)思想：
数形结合的思想
二分法思想
转化思想
课堂小结
方法技巧
二分法求函数零点的要点：
定区间，找中点，中值计算两边看；
零点落在异号间，区间长度缩一半；
周而复始怎么办? 精确度上来判断.
布置作业
完成教材第146页练习第1，2题；第155页习题4.5第1，3，4题.
谢谢大家

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