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4.4.3 不同函数增长的差异
第四章 指数函数与对数函数
数学
学习目标
①结合具体函数图象，总结一次函数、指数函数、对数函数的增长差异.
②通过图象，了解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.
学习重难点
重点：
函数增长快慢比较的常用方法.
难点：
了解影响函数增长快慢的因素.
课堂导入
情境1
有人说，一张普通的报纸对折30次后，厚度会超过10座珠穆朗玛峰的高度，会是真的吗
真
课堂导入
情境2
“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，用这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍.陛下，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！ ”
“爱卿，你所求的并不多啊！”
假
课堂探究
问题1　以函数y=2x和y=2x为例.画出两个函数在区间[0，+∞)上的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况.
x y=2x y=2x
0 1 0
0.5 1.414 1
1 2 2
1.5 2.828 3
2 4 4
2.5 5.657 5
3 8 6
··· ··· ···
x
1
3
2
y
8
O
5
1
2
3
7
6
4
探究一 指数函数与一次函数的增长差异
课堂探究
x
1
3
2
y
8
O
5
1
2
3
7
6
4
由图可知：
(1)函数y=2x与y=2x有两个交点(1，2)和(2，4)；
(2)在区间(0，1)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上；
(3)在区间(1，2)上，函数y=2x的图象位于y=2x之下；
(4)在区间(2，3)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上.
综上：虽然函数y=2x与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度保持不变，但是y=2x的增长速度在变化，先慢后快.
探究一 指数函数与一次函数的增长差异
课堂探究
在更大的范围内，观察y=2x和y=2x的增长情况.
x y=2x y=2x
0 1 0
2 4 4
4 16 8
6 64 12
8 256 16
10 1 024 20
12 4 096 24
··· ··· ···
x
5
15
10
y
O
1000
200
400
600
800
随着自变量取值越来越大，函数y=2x的图象几乎与x轴垂直，函数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和y=2x的增长相比几乎微不足道.
探究一 指数函数与一次函数的增长差异
课堂探究
函数y=2x与y=2x在[0，+∞)上增长快慢的不同如下：
虽然函数y=2x与y=2x在[0，+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.
随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度.
尽管在x的一定范围内，2x<2x，但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有2x>2x.
探究一 指数函数与一次函数的增长差异
课堂探究
一般地，指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似.
即使k值远远大于a值，指数函数y=ax(a>1) 有一段区间会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个x0，当x>x0时，y=ax(a>1)的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度.
探究一 指数函数与一次函数的增长差异
课堂探究
例1　在同一直角坐标系中，画出函数y=x+5(x≥0)和y=2x(x≥0)的图象，并比较x+5与2x的大小.
解 根据函数y=x+5与y=2x的图象增长差异得：
当0≤x<3时，x+5>2x；
当x=3时，x+5=2x；
当x>3时，x+5<2x.
课堂探究
规律方法
(1)线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
(2)指数函数模型
指数型函数模型y＝=abx+c(a，b，c为常数，a>0，b>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，
即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.
课堂探究
【跟踪训练1】
(多选题)若函数y1=x2，y2=2x，y3=x，则下列关于这三个函数的描述正确的是(　　)
A.随着x的逐渐增大，y1增长速度越来越快于y2
B.随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1
C.当x∈(0，+∞)时，y1增长速度一直快于y3
D.当x∈(0，+∞)时，y2增长速度有时快于y1
解析 在同一直角坐标系内画出函数y1=x2，y2=2x，y3=x的图象，如图.
对于A，随着x的逐渐增大，y1增长速度不是越来越快于y2，所以A错误；
对于B，随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1，所以B正确；
对于C，当x∈(0，+∞)时，y1增长速度不是一直快于y3，所以C错误；
对于D，当x∈(0，+∞)时，y2增长速度有时快于y1，所以D正确.故选BD.
BD
课堂探究
问题2　以函数y=lg x和函数y=x为例，画出两个函数的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况.
x y=lg x
0 不存在 0
10 1 1
20 1.301 2
30 1.477 3
40 1.602 4
50 1.699 5
60 1.778 6
··· ··· ···
x
20
40
30
y
O
6
1
2
3
4
5
10
60
50
探究二 对数函数与一次函数的增长差异
课堂探究
虽然它们在(0，+∞)上都单调递增，但增长速度存在着明显的差异.函数y=x的增长速度保持不变，而y=lg x的增长速度在变化.随着x的增大，函数y=x的图象离x轴越来越远，而函数y=lg x的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样.
例如lg 10=1，lg 100=2，lg 1 000=3，lg 10 000=4；而×10=1，×100=10，×1 000=100，×10 000=1 000.这说明，当x>10，即y=lg x>lg 10=1时，y=lg x与y=x相比增长得就很慢了.
探究二 对数函数与一次函数的增长差异
x
20
40
30
y
O
6
1
2
3
4
5
10
60
50
课堂探究
追问：将y=lg x放大1 000倍，将函数y=1 000lg x与比较，仍有上面规律吗
探究二 对数函数与一次函数的增长差异
课堂探究
一般地，虽然对数函数y=logax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)在区间(0，+∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同.
随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y=logax(a>1)的增长速度越来越慢.即使k的值很小，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长最终会慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有logax对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律.
探究二 对数函数与一次函数的增长差异
课堂探究
例2　函数f(x)=lg x，g(x)=0.3x 1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).
解 (1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x 1，曲线C2对应的函数为f(x)=lg x；
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)f(x)；当x=x1或x=x2时，g(x)=f(x).
课堂探究
规律方法
对数函数模型：
能用对数型函数f(x)=mloga x+n(m，n，a为常数，m>0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓，常称之为“蜗牛式增长”.
课堂探究
【跟踪训练2】
(1)下列函数中，增长速度最慢的是（ ）
A. y=6x B. y=log6 x
C. y=x6 D. y=6x
解析 (1)比较可知对数函数的增长速度最慢.故选B.
B
课堂探究
【跟踪训练2】
(2)有一组数据如下表：
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)
A. v=log2 t B. v=lot C. v= D. v=2t 2
解析 (2)(方法1)从表格中数据可知此函数为单调递增函数，排除B，且增长速度越来越快，排除A和D，故选C.(方法2)作出散点图，如图所示.易知C满足题意，故选C.
C
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
课堂探究
探究三 函数模型的选择
例3　某汽车制造公司在2024年初公告：计划某型号汽车2024年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的该型号汽车年产量如下表所示.
年份 2021 2022 2023
年产量/万辆 8 18 30
如果我们分别将2021，2022，2023，2024年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司该型号汽车年产量y与年份x的关系
课堂探究
解 建立年产量y与年份x的函数，可知函数图象过点(1，8)，(2，18)，(3，30).
①构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，将点的坐标代入，
可得解得则f(x)=x2+7x，
故f(4)=44，与计划误差为1万辆.
②构造指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0，b>0，b≠1)，将点的坐标代入，
可得解得则g(x)=·()x 42，
故g(4)=×()4 42=44.4，与计划误差为1.4万辆.
由①②，可得二次函数模型f(x)=x2+7x能更好地反映该公司该型号汽车年产量y与年份x的关系.
课堂探究
规律方法
不同函数模型的选取标准：
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律.
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律.
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律.
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.
评价反馈
1. 下列函数中，随x的增大而增长速度最快的是 (　　)
A.y=ex B.y=ln x
C.y=x1 000 D.y=2x
解析 对数函数、幂函数、指数函数比较，指数函数的增长速度最快.
对于y=ex，y=2x，因为e>2，所以y=ex比y=2x增长速度快，
故选A.
A
评价反馈
2. 能使不等式log2xA.(0，+∞)
B.(2，+∞)
C.( ∞，2)
D.(0，2)∪(4，+∞)
解析 在同一平面直角坐标系内，作出这三个函数的图象，如图.由图象可知当x∈(0，2)∪(4，+∞)时，log2xD
评价反馈
3. 某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用(　　)
A.一次函数 B.二次函数
C.指数型函数 D.对数型函数
解析 四个函数中，A的增长速度不变，B，C增长速度越来越快，其中C增长速度比B更快，D增长速度越来越慢，故只有D能反映y与x的关系.
D
评价反馈
4. 下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是　　　　　(填序号).
①y=10×1.05x； ②y=20+x1.5；
③y=30+lg(x+1)； ④y=50.
解析 比较所有函数的增长速度，易知选①.
①
评价反馈
5. 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是　　　　　(填序号).
①甲比乙先出发；
②乙比甲跑的路程多；
③甲、乙两人的速度相同；
④甲比乙先到达终点.
解析 由题图知，甲、乙两人同时从t=0时开始赛跑，s与t的关系均为直线上升，路程s的增长速度不变，即甲、乙均为匀速运动，但甲的速度快.又甲、乙的路程s取值范围相同，即跑了相同的路程，但甲用时少，故先到终点.
④
评价反馈
6. 有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元，它们与投入资金m(单位：万元)的关系式为p=m，q=.今有3万元资金投入这两种商品.若设对甲种商品投资x万元，投资两种商品所获得的总利润为y万元.
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)如何分配资金可使获得的总利润最大 并求最大利润的值.
解 (1)由题意知，对甲种商品投资x万元，获得的总利润为y万元，
则对乙种商品的投资为(3 x)万元，
所以y=x+(0≤x≤3).
评价反馈
6. 有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元，它们与投入资金m(单位：万元)的关系式为p=m，q=.今有3万元资金投入这两种商品.若设对甲种商品投资x万元，投资两种商品所获得的总利润为y万元.
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)如何分配资金可使获得的总利润最大 并求最大利润的值.
(2)令t=(0≤t≤)，则x=3 t2，所以y=(3 t2)+t= (t )2+，
所以当t=时，ymax==1.05(万元).由t=可求得x=0.75(万元)，
3 x=2.25(万元)，所以为了获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，此时获得的最大利润为1.05万元.
课堂导入
增函数
增函数
增函数
y轴
x轴
越来越快
越来越慢
知识归纳
布置作业
完成教材第139页练习第1，2，3，4题.
完成教材第140~141页习题4.4第3，4，10，11题.
谢谢大家

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