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第十一章 不等式与不等式组
11.1.1 不等式及其解集
第一节 不等式
1.了解不等式的概念，理解不等式的解集，能用数轴表示不等式的解集.
2.经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想.
3.通过对不等式、不等式解及解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识.
4.初步认识实际生活与数学息息相关，存在紧密的联系，增强学生学习数学的兴趣.
现实生活中，数量之间存在着相等与不相等的关系.
例如：小丽的身高为155cm，小楠的身高为156cm；
小丽
小楠
155cm
156cm
155cm＜156cm
156cm＞155cm
我们可以用不等号“>”或“<”来表示它们的高度之间的关系:
怎么表示小丽的身高与小楠 的身高之间的关系？
问题1 一辆汽车在高速公路上匀速行驶，6:00 时汽车距前方的 A 地210 km，汽车要在 8:00 之前驶过 A 地，车速应满足什么条件？
从路程上看，以 x km/h 的速度行驶 2 h 的路程要超过 210 km ，这个不等式可以表示为：2x＞210．②
　　问题 2　你能用式子表示下列不等关系吗？
　　（1）m 的 4 倍小于 9；
　　（2）a 与 2 的和不等于 a 与 2 的差．
4m
a＋2
9
＜ ；
≠ ．
a－2
和 差 积 商
＋ － × ÷
问题 3　结合问题 1 和问题 2，你能尝试给出不等式的概念吗？
注意：有些不等式中不含字母，例如3<4，-1>-2;
有些不等式中含有字母，例如①②这样的不等式.
例1 用不等式表示下列数量关系：
（1）a与15的和大于27；
（2）b的一半与3的差是负数；
(3)某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1333 hm2猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的 18倍
a+15＞27
设这个县原有猕猴桃种植面积为x hm2，那么1333>18x，也可以表示为 18x<1 333.
列不等式的基本步骤:
① 认真审题，找出问题中要对比的量；
② 将要对比的量用代数式表示出来；
③ 找出问题中表示不等关系的关键词，并用不等号表示出来；
④ 用不等号将所列的代数式连接起来，列出不等式.
归纳
　　问题 4 对于前面问题中的不等式 2x＞210 而言，车速可以是 110 km/h
吗？120 km/h 呢？90 km/h 呢？
　　当 x＝110 时，2x＝220， 2x＞210；
　　当 x＝120 时，2x＝240， 2x＞210；
　　当 x＝90 时，2x＝180，2x＜210．
　　追问 类比方程的解，什么叫不等式的解？
与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解．110 是不等式 2x>210 的解，而 90 不是不等式 2x>210 的解.
x … 90 110 …
2x … 180 220 …
　　探究 再取 x 的一些值试一试，看看哪些是不等式 2x＞210 的解？
　　追问 观察不等式 2x＞210 的解，它们都满足什么条件？
　　汽车要在 8:00 之前驶过 A 地，车速应大于 105 km/h．
100
200
105
210
106
212
　　一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫作解不等式．
思考：除了用 x＞105 表示不等式 2x＞210 的解集，还有其他表示方法吗？
0
105
在表示 105 的点上画空心圆圈，表示解集不包含这个点所对应的数.
步 骤
第一步：画数轴;
第二步：定界点;
第三步：定方向.
标出正方向、原点、长度.
包含用实心点与不包含用空心点
左小右大
不等式解集的表示方法主要有两种：
　　（1）用式子，即用最简形式的不等式（x＞m 或 x＜m）表示；
　　（2）用数轴，标出数轴上的某一范围，其中的点对应的数值都是不等式的解．
　归纳
例2 直接写出x+4＜6的解集，并在数轴上表示出来．
解：不等式的解集为：
x<2
用数轴表示为：
0
2
数轴表示解集三步曲：
第一步：画数轴;
第二步：定界点;
第三步：定方向.
　　1. 用不等式表示下列不等关系：
　　（1）a 是正数；
　　（2）5 与 x 的和小于 7；
　　（3）－4 与 m 的积大于 8；
　　（4）m 与 1 的差小于 m 的 3 倍；
a＞0．
5＋x＜7．
－4m＞8．
m－1＜3m．
1. 用不等式表示下列不等关系：
(5)经检测，某公园的环境噪声在 50 dB（分贝）以下；
　　
(6)某市有公交车 12 000 辆，其中新能源公交车所占比例超过 66%．
　　
设公园的环境噪声为 x dB，那么 x＜50．
设某市有新能源公交车 x 辆，那么 x＞12 000×66%．
　　2. 下列数中哪些是不等式 x＋3＞6 的解？哪些不是？
　　－4，－2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12．
　　
当 x＝－4 时，－4＋3＝－1＜6，原不等式不成立；
　　当 x＝－2.5，0，1，2.5 时，x＋3＜6，原不等式不成立；
　　当 x＝3 时， x＋3＝6，原不等式不成立；
　　当 x＝3.2 时，3.2＋3＝6.2 ＞6，原不等式成立；
　　当 x＝4.8，8，12 时，x＋3＞6，原不等式成立．
3.直接写出不等式x+4＞8的解集并在数轴上表示它.
解：不等式的解集为：x＞4
用数轴表示为：
0
4
定 义
不等式的解
不等式的解集
一般地，用符号“＞”或“＜”
表示不等关系的式子叫作不等式.
能使不等式成立的未知数的值叫不等式的解.
一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.
不等式解集的表示
用数轴表示不等式的解集.
不
等
式

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