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10.1.1 复数的概念
1.了解复数的意义.
2.掌握有关复数的概念、复数的分类，初步掌握虚数单位的概念和性质.（重点）
知识点1：实数系的发展
记数的需要
产生了 自然数
1.为解决实际问题的需要
为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要
产生了 负数
产生了分数
分配、测量中的等分
有理数
为了解决度量边长为1的正方形对角线长的问题
产生了
——无理数(无限不循环小数).
（1）方程????+4=3在自然数集中
?
引入负数;
将自然数系扩充到整数系.
无解
(2)方程2????=5在整数集中
?
引入分数;
将整数系扩充到有理数系.
无解
(3)方程????2=7在有理数集中
?
无解
引入无理数;
将有理数系扩充到实数系.
2.解方程的需要
N
Z
Q
自然数
整数
有理数
数系的扩充
引入新数
R
实数
扩充１
扩充2
扩充3
3.数系扩充后，新数系应遵循原数系的运算律.
扩充后的数集规定的加法运算、乘法运算，与原来数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律.
知识点2：复数的概念
观察下列三次方程的分解因式，你发现它们都有几个正根？
因式分解：
(1) x3=9x+28→x3-9x-28=0→(x-4)(x2+4x+7)=0；
(2) x3=15x+4→x3-15x-4=0→x3-16x+x-4=4x(x2-16)+(x-4)=(x-4)(x2+4x+1)=0.
均有唯一的正根4.
人们早在16世纪就发现，可以通过求根公式
求解三次方程x3=px+q(p，q均为正实数)的正根
思考1
(1)x3=9x+28；(2)x3=15x+4
（1）????=314+142?32+314?142?32=4
?
(2)由问题1，可知????=32+11?1+32?11?1=4 成立 ，但是不能由公式直接计算得出.
?
你能利用它直接计算，求解上述方程的正根吗？
思考2
如果规定 ，将 按照类似实数的运算法则进行形式计算，你能解释 吗？
所以可以认为32+11?1=2+?1
?
类似地，可以认为32?11?12??1
?
从而形式上有32=11?1+32?11?1=2+?1+2??1=4
?
思考3
一般地，为了使得方程????2=?1有解，人们规定i的平方等于?1.
即????2=?1，并称????为虚数单位.
?
复数的概念：
想一想：怎样表示2与i的和？又该怎样表示3减去i？5与i的乘积可以怎样表示？
2+i；3-i；5i
实数与i进行四则运算时，加法、乘法运算律仍然成立：
(1)实数a与i的和记作a+i，实数0与i的和为i；
(2)实数b与i的积记作bi.
注：实数0与i的积为0，实数1与i的积为i.
在形式上有什么共同特点？
1.复数的代数形式：
其中i 称为虚数单位.
通常用小写字母z表示，即
实部
虚部
复数全体组成的集合叫复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此
C={ z| z=a+bi ，a，b∈R}
说一说：下列复数的实部与虚部分别是什么.
-1+2i ， 2-3i， 2024 ， i ， 0 .
2.复数的分类：
复数集C和实数集R之间有什么关系？
思考
例1：分别求实数x的取值，使得复数z=(x-2)+(x+3)i
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数.
解析：(1)当x+3=0，即x=-3时，复数z是实数.
(2)当x+3≠0，即x≠-3时，复数z是虚数.
(3)当x-2=0，且x+3≠0，即x=2时，复数z是纯虚数.
2.复数相等：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
注：
2) 一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.
????=????且????=????
?
????+????????=????+????????
?
1）????+????????=0(????,????∈????)?????=0且????=0
?
例2：分别求满足下列关系式的实数????与????的值
?
（1）(????+2????)?????=6????+(?????????)????;
（2）(????+????+1)?(?????????+2)????=0
?
解析：（1）根据复数相等的定义，得
（2）根据复数等于0得充要条件，得
????+2????=6?????1=?????????
?
解这个方程组，得????=23,????=53
?
????+????+1=0?(?????????+2)=0
?
解这个方程组，得????=?32,????=12
?
D
A
3.复数 ，当实数m= 时，z为纯虚数；当实数m= 时，z为零.
-2
1
1.虚数单位i的引入.
2.复数有关概念：
复数的代数形式:
复数的实部 、虚部
复数相等
虚数、纯虚数

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