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10.2.1 复数的加法与减法
1.掌握复数的代数形式的加法和减法法则.
2.了解复数加、减运算的几何意义.
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
一一对应
复数z=a+bi
（数）
一一对应
（形）
1.复数的几何意义
2.平面向量加减法的运算法则
(1)几何形式：平行四边形法则、三角形法则
(2)坐标形式：坐标分别相加减
（一）复数的加法法则
既然虚数单位i能与实数进行加法和乘法运算，并仍保持实数加法和乘法的运算律，那么你认为复两个复数应该怎样相加才合理呢？
设z1=a+bi, z2=c+di是任意两个复数，那么
类比猜想：
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
思考1
复数的加法法则：
一般地，设z1 =a+bi , z2 =c+di (a,b,c,d?R), 称z1 +z2为z1 与z2 的和，
z1 +z2 =(a+bi)+(c+di)=(a+b)+(c+d) i
实部相加得实部
虚部相加得虚部
1.两个复数的和仍然是一个确定的复数
2.复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情况
3.当 ????=????=0 时，复数的加法法则与实数的加法法则一致.
?
注 意
1. (1+2i)+(-2+3i)=_______________;
填一填：
2. (-2+3i)+(1+2i)=_______________;
3. [(-2+3i)+(1+2i)]+(3+4i)
=_______________+(3+4i)
=_______________;
4. (-2+3i)+[(1+2i)+(3+4i)]
= (-2+3i)+______________
=_______________.
-1+5i
-1+5i
(4+6i)
2+9i
2+9i
(-1+5i)
证明：设z1 =a1+b1i , z2 =a2+b2i z=a3 +b3i,
z1 +z2 =(a1 +a2 )+(b1 +b2) i
z2 +z1 =( a2+a1 )+( b2+b1 ) i
z1 +z2 = z2+z1
同理可得 (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)
复数的加法满足交换律和结合律吗？试证明.
思考2
（二）复数的加法的几何意义
如何正确理解复数加法的几何意义？
提示：复数加法的几何意义，就是向量加法的平行四边形法则.
思考3
Z1(a,b)
Z2(c,d)
O
y
x
(a,b)+(c,d)
=(a+c,b+d)
其对应复数z=(a+c)+(b+d)i
设z1=a+bi，z2=c+di，则
∴复数的加法可以按向量的加法来进行.
Z(a+c,b+d)
复数加法的几何意义的具体解释：
?
?
由复数加法的几何意义还可以得出
||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.
等号成立的条件：
①当|z1+z2|＝|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量同向共线；
②当|z1+z2|＝||z1|-|z2||时，z1，z2所对应的向量反向共线.
（三）复数的减法
实数的减法是加法的逆运算，减去一个数，等于加上这个数的相反数.
相反数：一般地，复数z=a+bi(a,b∈R)的相反数记作-z，并规定：-z=-（a+bi）=-a-bi.
在实数集中，减法的几何意义是什么？
思考4
在复数中是否可以用类似方法来定义两个复数的减法呢？
思考5
一般地，设z1 =a+bi , z2 =c+di (a,b,c,d?R), 称z1 +z2为z1 与z2 的和，
z1 -z2 =(a+bi)-(c+di)=(a-b)+(c-d) i
实部相减得实部
虚部相减得虚部
复数的减法法则：
算一算: (1)(-1+3i) -(1 -3 i) (2)(5 - 6i)+(-2 - i)-(3 + 4i)
解 ：
(1)原式=
(-1-1）+[3 -(-3）]i
=-2+6 i
原式=
或
（5–2-3）+（-6 –1-4）i
= -11i
(2)原式=
（5–2）+（-6 –1）i -(3 + 4i)
= -11i
=（3-7i） -(3 + 4i)
=（3–3）-（-7 –4）i
（四）复数的减法的几何意义
类比复数加法的几何意义，如何正确理解复数减法的几何意义？
y
x
O
设z1=a+bi，z2=c+di，则
(a,b)-(c,d)
=(a-c,b-d)
其对应复数z=(a-c)+(b-d)i
复数减法的几何意义：
思考5
复数减法的几何意义的具体解释：
由复数减法的几何意义可以得出
||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|.
等号成立的条件：
①当|z1-z2|＝|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量反向共线；
②当|z1-z2|＝||z1|-|z2||时，z1，z2所对应的向量同向共线.
因为复数相加、相减之后的结果都还是复数，所以当然可以进行有限个复数的加减运算.也可以进行加、减法的混合运算.
例1 计算
解：
例2 复平面内关于原点对称的两点对应的复数为Z1，Z2，且满足Z1+i=Z2 －2，求Z1和Z2.
解：依题意设Z1=x+yi（x，y∈R）则Z2= －x －yi，
由Z1+i=Z2 －2得：x+(y+1)i= －(x －2)+(－y)i，
由复数相等可求得x= －1，y= －1/2
例3 判断命题“两个共轭复数的差一定是纯虚数”的真假，并说明理由.
解：这是假命题，理由如下.
设 z = ???? + bi (a，b∈R)，则 ?????= ???? – bi ，
从而有 z – ???? = (???? + bi) – (???? – bi) = 2bi，
当 b = 0 时，z – ???? = 0，这不是纯虚数.
?
（五）复数|z1-z2|的几何意义
y
x
O
|z1-z2|表示什么?
思考6
在复平面内，设复数 ????1=a+b????, ????2=????+????????
(????,????,????,????∈????)对应的点分别为????1a,b,????2(????,????)，
则 ????1????2=?????????2+?????????2 .
又复数 ????1?????2=?????????+????????????? ，
则 ????1?????2= ?????????2+?????????2.
所以 ????1????2=????1?????2，
即????1?????2 表示复数 ????1, ????2 在复平面内对应的点之间的距离.
?
(1) |z－(1+2i)|
(2) |z+(1+2i)|
例4.已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.
点A到点(1,2)的距离
点A到点(-1, -2)的距离
(3) |z|
点A到点(1,0)的距离
(5) |z+2i|
点A到点(0, -2)的距离
(4) |z－1|
点A到点(0,0)的距离
例5. 满足 ?????2????+????+1=5 的复数 ???? 在复平面内的对应点的集合表示的是什么图形？
?
【解】满足 ?????2????+????+1=5 表示复数 ???? 在复平面内的对应点 ???? 到两定点(0,2)，(-1,0)的距离之和为常数 5 .
?
又因为点(0,2)与点(-1,0)之间的距离为?1?02+0?22=5
?
所以点 ???? 表示的集合是以两定点(0,2)，(-1,0)为端点的线段.
?
本节课你学到了哪些知识？
1.在平行四边形ABCD中,若A,C对应的复数分别为-1+i和-4-3i,则该平行四边形的对角线AC的长度为 (　　)
A. B.5 C.2 D.10
解：依题意知, 对应的复数为(-4-3i)-(-1+i)=-3-4i,因此AC的长度为|-3-4i|=5.
B
2.已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．
【解析】由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，
又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.即|z|最大值＝6，|z|最小值＝4.

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