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10.2.2 课时1 复数的乘法与除法
1.掌握复数代数形式的乘法和除法计算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
我们知道两个实数的乘法对加法来说满足分配律,即a,b,c∈R时,有(a+b)c=ac+bc,而且,实数的正整数次幂满足aman=am+n,(am)n=amn,(ab)n=anbn.其中m,n均为正整数,那么,复数的乘法应该如何规定,才能使得类似的运算法则仍成立呢
知识点一:复数的乘法
1.复数的乘法法则
一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积,并规定z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i,即两个复数的积仍然是复数.
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1,z2,z3∈C,有
交换律 z1z2=z2z1
结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3)
分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
3.复数的幂
(4)需要说明的是,以前我们所学过的完全平方公式、平方差公式等,对于复数来说也是成立的,即
(5)等式两边同时乘一个复数等式仍成立,
即当z1=z2时,必定有z1z=z2z.
知识点二:复数的除法
复数的除法法则
例1 计算:(1)(2+i)(2-i);(2)(1+2i)2.
解:(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5;
(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.
反思感悟 (1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行,注意选用恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方差公式、完全平方公式等.
(2)像3+4i和3-4i这样的两个复数叫做互为共轭复数,其形态特征为a+bi和a-bi,其中a,b∈R,其数值特征为(a+bi)·(a-bi)=a2+b2.
探究一 复数的乘法运算
变式训练1 计算:
(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);
(2)(3+4i)(3-4i);
(3)(1+i)2.
解:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)
=(11-2i)(-2+i)
=-20+15i;
(2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25;
(3)(1+i)2=1+2i+i2=2i.
例2 计算:
(1)(1+2i)÷(3-4i);
探究二 复数的除法运算
反思感悟 求此类题时通常先写成分式的形式,再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘分母的共轭复数,若分母是纯虚数,则只需同时乘i).
变式训练2 计算:
例3 计算i+i2+i3+…+i2 020.
探究三 虚数单位i的幂值的周期性
反思感悟 1.周期性
2.记住以下结果,可提高运算速度
(1)(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i.
(1)答案: 0
1.(1+3i)(1-i)=(　　)
A.4+2i B.2+4i
C.-2+2i D.2-2i
答案: A
解析:(1+3i)(1-i)=1-i+3i-3i2=4+2i.故选A.
A.3+2i B.3-2i C.2-3i D.2+3i
答案: C
复数的乘法与除法
运算法则
“i”的幂值的周期性

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