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10.2.2 课时2 实系数一元二次方程在复数范围内的解集
1.了解实系数一元二次方程在复数范围内的解集.
知识点:实系数一元二次方程在复数范围内的解集
当a,b,c都是实数且a≠0时,关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程,这个方程在复数范围内总是有解的,而且
(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
(3)当Δ=b2-4ac<0时,方程有两个互为共轭的虚数根.
名师点析 复数集内一元二次方程的解法
实系数一元二次方程 复系数一元二次方程
Δ的作用 可以用来判断根的情况 不能用来判断根的情况
求根公式 适用 适用
韦达定理 适用 适用
实系数一元二次方程的虚根才互为共轭复数.
方程x2+1=0在实数范围内没有根,但在复数范围内有两个根±i,那么关于x的实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)当Δ<0时是否也有两个复数根呢
提示:有.
思考
微练习1
在复数范围内,方程x2+x+1=0的根为(　　)
答案: C
微练习2
在复数范围内,方程2x2-2x+3=0的根为　　　　　.
例1 (1)在复数范围内求方程x2-x+3=0的解集.
(2)已知x=1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).
①求b,c的值;
②试判断x=1-i是不是方程的根.
探究一 在复数范围内解方程
(2)①∵1+i是方程x2+bx+c=0的根,
∴(1+i)2+b(1+i)+c=0,
即(b+c)+(2+b)i=0,
故b的值为-2,c的值为2.
②由①方程可化为x2-2x+2=0,
把x=1-i代入方程左边得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,
∴x=1-i也是方程的根.
反思感悟 在实系数一元二次方程中,若判别式Δ<0,方程有两个互为共轭复数的根,根与系数的关系仍适用.
变式训练：已知Z∈C，解关于z的方程
方程根中的“数学运算”
在复数范围内求方程的根或已知方程的根求解参数时,常常会涉及复数的平方运算、加减运算、复数相等的充要条件等,这时就会用到“数学运算”这一核心素养.
素养拓展
1.(1+3i)(1-i)=(　　)
A.4+2i B.2+4i
C.-2+2i D.2-2i
答案: A
解析:(1+3i)(1-i)=1-i+3i-3i2=4+2i.故选A.
A.3+2i B.3-2i C.2-3i D.2+3i
答案: C
4.已知复数x满足x2-2x=-2,则x=　　　　　.
答案: 1±i
实系数一元二次方程在复数范围内的解集：
当 a，b，c 都是实数且 a ≠ 0 时，关于 x 的方程 ax2 + bx + c = 0 称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，且
（1）当 Δ = b2 – 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当 Δ = b2 – 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；
（3）当 Δ = b2 – 4ac < 0 时，方程有两个互为共轭的虚数根.

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