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10.3 课时1 复数的三角形式
1.知道复数的模和辐角的定义.
2.会求复数的模和辐角主值.
3.能求出复数的三角形式.
1.如图①,角θ的终边上一点P(x,y),设P到原点O的距离|OP|=r,那么怎样用角θ和r表示x,y
图①
图②
知识点一:复数的三角形式
由下图可以看出,对于复数z=a+bi,有
所以z=a+bi=(rcos θ)+(rsin θ)i=r(cos θ+isin θ).
一般地,任何一个非零复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成r(cos θ+isin θ)的形式.其中,r是复数z的模,θ是复数z的辐角.r(cos θ+isin θ)叫做非零复数z=a+bi的三角形式,为了与三角形式区分开来,a+bi叫做复数的代数形式.
任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个,而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍.特别地,在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值,记作arg z,即0≤arg z<2π.
知识点二:复数的三角形式与代数形式的互化
1.复数的三角形式z=r(cos θ+isin θ)化为复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R),只要计算出三角函数值(应用a=rcos θ,b=rsin θ)即可.
2.复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)化为复数的三角形式一般步骤:
(3)写出复数的三角形式.
3.每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角主值,并且由它的模与辐角主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等,即z1=z2
复数三角形式的判断依据和变形步骤
1.依据:三角形式的结构特征“模非负,角相同,余弦前,加号连”.
2.步骤:首先确定复数z的对应点所在象限,其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角.可简记为“定点→定名→定角”.
探究一 复数的模与辐角
答案: (1)A　(2)C
例2 将下列复数化为三角形式:
探究二 复数的三角形式与代数形式的互化
1.（1）设复数z满足 ，则z=（ ）
（2）已知复数z=1-2i， ，则ω的辐角主值为 .
2.将下列复数化为三角形式:
复数的三角形式
代数形式化为三角形式
三角形式化为代数形式

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