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10.3 课时2 复数三角形式的乘除法
1.会进行复数三角形式的乘除运算.
知识点一:复数三角形式的乘法及运算律
1.复数三角形式的乘法
若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.简单地说,两个复数三角形式相乘的法则为:模数相乘,辐角相加.
2.复数乘法运算的几何意义
3.复数的三角形式乘法法则有如下推论
(1)有限个复数相乘,结论亦成立,即z1z2…zn=r1(cos θ1+isin θ1)·r2
(cos θ2+isin θ2)…rn(cos θn+isin θn)
=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].
(2)当z1=z2=…=zn=z,即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ时,zn=
[r(cos θ+isin θ)]n=rn[cos(nθ)+isin(nθ)].这就是复数三角形式的乘方法则,即:模数乘方,辐角n倍.
(3)在复数三角形式的乘方法则中,当r=1时,则有(cos θ+isin θ)n
=cos nθ+isin nθ.这个公式叫做棣莫弗公式.
知识点二:复数三角形式的除法及运算律
1.复数三角形式的除法运算
若z1=r1(cos θ1+isin θ1),
z2=r2(cos θ2+isin θ2),
这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简单地说,两个复数三角形式相除的法则为:模数相除,辐角相减.
2.复数除法运算的几何意义
探究一 复数乘、除运算及其几何意义
例1.（1）在复平面内，把复数 对应的向量按顺时针方向旋转 ，所得向量对应的复数是（ ）
（2）复数 的辐角主值为 .
探究二 复数乘、除运算的综合应用
例2. 设 ，且 ，则ω的辐角θ主值的取值范围是 .
复数代数形式与三角形式转化出错
典例 下列复数的形式是不是三角形式,若不是,化为三角形式:
(1)z1=-2(cos θ+isin θ);
(2)z2=cos θ-isin θ;
(3)z3=-sin θ+icos θ;
(4)z4=-sin θ-icos θ;
(5)z5=cos 60°+isin 30°.
素养拓展
解:(1)由“模非负”知不是三角形式.
z1=2(-cos θ-isin θ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)].
(2)由“加号连”知不是三角形式.
z2=cos θ-isin θ=cos(-θ)+isin(-θ)或z2=cos θ-isin θ=cos(2π-θ)+
isin(2π-θ).
(3)由“余弦前”知不是三角形式.
1.复数的三角形式要符合z=r(cos θ+isin θ)(r>0).
2.如果不符合即利用诱导公式转化为三角形式.
注意
答案: C
2.8i÷[2(cos 45°+isin 45°)]=　　　　　.
解析:8i÷[2(cos 45°+isin 45°)]
=8(cos 90°+isin 90°)÷[2(cos 45°+isin 45°)]
=4[cos(90°-45°)+isin(90°-45°)]
=4(cos 45°+isin 45°)
复数三角形式的乘除法
乘法
除法

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