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11.1.2 构成空间几何体的基本元素
1.理解复数与以原点为起点的向量的对应关系. （重点）
2.了解复数的几何意义.（难点）
3.会用复数的几何意义解决有关问题.
观察我们生活的空间，一切物体都占据着空间的一部分.
如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体.
探究1：空间中的点、线、面
空间几何体是如何构成的？其基本元素是什么？
点、线、面是构成空间几何体的基本元素
点动成线，线动成面，面动成体
思考1
观察下面长方体的形成过程，思考几何体中点、线、面之间有什么关系？能否用数学符号符号来表示？
思考2
如图，长方体由六个矩形（包括它的内部）围成，围成长方体的各个矩形叫做长方体的面；相邻两个面的公共边叫做长方体的棱；棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点.
长方体的棱
长方体的面
长方体的顶点
空间中的点、线、面的特征及表示方法
构成空间几何体的基本元素是点、线、面.
特征：无大小
特征：无粗细、无限延伸
点：
表示：A,B,C…
表示：????,b,c…或AB,BC…
?
线：
A
B
A
平面：
（1）平面是一个只描述而不定义的最基本的概念,它是从日常见到的具体的平面抽象出来的理想化的模型.
①平
②无限延展
③不计大小
④不计厚薄
（没有边界）
（无所谓面积）
（没有质量）
（不是凹凸不平）
（2）平面的表示法：
①图示法：用平行四边形或三角形表示平面.
如：平面 ，平面 ，平面ABCD，平面AC，平面ABC等.
②符号法：用希腊字母 来命名，还可以用表示
它的平行四边形的顶点或对角顶点的字母来命名.
8个顶点可表示为：
12条棱可以表示为：
6个面可以表示为：
长方体可以表示为：
如图所示的长方体中，
练一练
探究2：空间中点与直线、直线与直线的位置关系
用集合符号表示点A，B，A1，B1与直线l的关系.
????
?
????
?
????
?
如图，长方体中，顶点A，B确定的直线为l，B，B1确定的直线为m,顶点C，C1确定的直线为k.
A，B都是l上的点，且A1,B1都不是l上的点，这可用符号简写为：
思考1
分别用集合符号表示直线m，k与直线l的关系
????
?
????
?
????
?
m与l相交（即有公共点），k与l不相交（即没有公共点），这可分别表示为：
m与l相交于点B，所以 ，一般简写为：
思考2
同一平面内的两条直线，如果不相交，就一定平行，这一结论可以推广到空间中的两条直线吗？结合问题1中的长方体，总结空间中两条直线的位置关系.
????
?
????
?
????
?
1.异面直线：一般地，空间中的两条直线，可以既不平行，也不相交，此时称这两条直线异面，上图中，直线l与k异面.
2.直线与直线的位置关系
如果????,????是空间中的两条直线，则
有且仅有一种情况成立.
?
直线l与k不平行但也不相交
与
而且当 时，a与b要么平行（记作a//b），要么异面.
思考2
1.如图，已知正方体，判断下列直线的位置关系：
①直线与直线的位置关系是________；
②直线与直线的位置关系是________；
③直线与直线的位置关系是________；
④直线与直线的位置关系是________．
平行
异面
相交
异面
练一练
探究点3：空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
A是平面α内的点，A1不是平面α内的点，这可用
符号简写为：
用集合符号表示点A，A1与平面α的关系.
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，长方形ABCD所在的平面为α，长方形ADD1A1所在的平面为β.
直线l与平面α有多少个公共点？直线m与平面α呢？
直线l与平面α有无数个公共点；直线m与平面α有且只有一个公共点.
思考2
思考1
用集合符号表示出直线l与平面α、直线m与平面α的关系.
点A，B确定的直线上的所有点都在平面α内，这称为直线l在平面α内(或平面α过直线l),记作：
点B，B1确定的直线m上至少有一个点不在平面α内，这称为直线m在平面α外，记作：
直线m与α有且只有一个公共点(称为直线m与平面α相交)，即 ,一般简写为：
????
?
????
?
????
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????
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????
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思考3
平面α与平面β有无数个公共点.
平面α与平面β有多少个公共点？用集合符号表示出平面α与平面β的关系
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
这称为平面α与平面β相交，记作：
若一个点是α与β的公共点，当且仅当这个点在 直线k上，这可记作：
思考4
2.用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.
(1) (2)
练一练
若l是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面
(1)当????∩????≠?时，要么?????????，要么l与α只有一个公共点；
(2)当????∩????=?时，称直线l与α平面平行，记作：l//α.
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}位置关系
直线????在
平面α内
直线????在平面????外
直线????与平面α相交
直线????与平面α平行
公共点
符号表示
图形表示
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}位置关系
公共点
符号表示
图形表示
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}有无数个
公共点
只有1个公共点
没有公共点
1.空间中直线与平面的位置关系：
总结
?????????
?
????∩????=????
?
????//????
?
2.空间中平面与平面的位置关系：
如果α与β是空间中的两个平面
(1)当α∩β≠?时，α与β的公共点组成一条直线；
(2)当α∩β=?时，称平面α与平面β平行，记作：α//β.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}位置关系
两平面平行
两平面相交
公共点
符号表示
图形表示
α//β
α∩β=l
没有公共点
有无数个公共点
(在一条直线上)
观察图中的长方体，解决下列问题：
(1)判断A1A与AB是否垂直，A1A与AD是否垂直，并说明理由;
(2)判断A1A与AC是否垂直;
(3)若直线l在平面ABCD内，且l过点A，判断A1A与l是否垂直.
由观察可知，图中，不管直线的具体位置如何，只要 平面ABCD，则一定有A1A⊥l.
探究点4：直线与平面垂直
思考1
直线与平面垂直的定义：
一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线????的一个垂面)，记作l⊥α.
其中点A称为垂足.
?
因此，图中长方体中，有A1A⊥平面ABCD，类似的，有A1A⊥平面A1B1C1D1，A1B1⊥平面BBC1C1.
点A1到平面ABCD的距离是什么？A1B1上的每个点到平面ABCD的距离是否相等？面A1B1C1D1上的每个点到平面ABCD的距离是否相等？
1.点到平面的距离
给定空间中一个平面α以及一个点A，过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线.如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影(也称为投影)，线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离.
思考2
2.直线到平面的距离
特别的，当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；
3.平行平面间的距离
当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为两平行平面之间的距离.
3.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6 cm，BC＝4 cm，AA1＝3 cm，则:
(1)点A到平面DCC1D1的距离为________；
(2)直线AA1到平面BCC1B1的距离为________；
(3)平面ABCD与平面A1B1C1D1之间的距离为________.
4cm
6cm
3cm
练一练

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