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(共33张PPT)
11.1.5 旋转体
1.了解圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念.（重点）
2.理解圆柱、圆锥、圆台和球及其简单组合体的结构特征.
3.掌握圆柱、圆锥、圆台和球的相关性质.（难点）
情景导入
问题1：下面的几何体与多面体不同，仔细观察这些几何体，它们有什么共同特点或生成规律？
（一）旋转体
矩形
直角三角形
直角梯形
半圆
圆柱
圆锥
圆台
球
1.旋转体：
用类似上述圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体
2.相关概念
（1）旋转轴成为旋转体的轴
（2）在轴上的边（或它的长度）称为旋转体的高
（3）垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的底面
（4）不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的侧面
（5）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为母线
（6）通过轴的平面所得到的截面称为轴截面
1.圆 柱
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
A
A′
O
O′
圆柱
旋转轴
底面
侧面
母线
圆柱的表示方法：
用表示它的轴的字母表示，如圆柱OO.
圆柱的性质：
（1）圆柱的底面是_________________，圆的半径等于矩形的边的长，两圆所在的平面互相平行；
（2）通过轴的各个截面是叫做轴截面，轴截面是________；
（3）母线___________，它们都垂直于底面，它们的长等于圆柱的___.
圆面
矩形
平行且相等
高
例1. 圆柱的轴截面是正方形，它的面积为9 ,求圆柱的高与底面的周长.
答案：h=3， c=2πr=3π
2.圆 锥
以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.
圆锥的表示方法：
用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO.
顶点
A
B
底面
轴
侧面
母线
S
O
圆锥的性质：
（1）圆锥的底面是______，圆的半径就是直角边的长，底面和轴垂直；
（2）平行于底面的截面是 ____；
（3）通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是___________；
（4）母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等。
圆面
圆面
等腰三角形
例2 圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是,求圆锥的高与母线的长。
()
3.圆 台
上底面
轴
侧面
母线
下底面
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的几何体叫做圆台.
圆台的表示方法：如圆台OO.
O
O’
圆台的性质:
（1）圆台的底面是_________，两圆所在的平面互相平行又都和轴垂直；
（2）平行于底面的截面是____；
（3）通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的 ________；
（4）母线都相等，各母线延长后都 .
圆面
圆面
等腰梯形
相交于一点
例3 圆台的轴截面中，上、下底面边长分别为2cm,10cm,高为3cm,求圆台母线的长。
①圆柱、圆锥、圆台三者之间的关系
上底缩小
上底扩大
圆柱体
圆锥体
圆台体
知识总结
例4 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1:4，截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台的母线长.
解：设圆台的母线为l，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是r，4r，根据相似三角形的性质得
解得l=9.
所以，圆台的母线长为9cm.
②侧面展开图以及侧面积
1.圆柱
圆柱的侧面展开图是______
圆柱的侧面积_________
S=2πrl
矩形
知识总结
2.圆锥
圆锥的侧面展开图是______
圆锥的侧面积_________
S=πrl
扇形
3.圆台
圆台的侧面展开图是______
圆台的侧面积 _____________
扇环
例4 （1）圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等于(　　)
A.15 B.15π C.24π D.30π
解析: S侧=πrl=π×3×5=15π.故选B.
B
(2)圆柱的侧面展开图是邻边长分别为6π和4π的矩形,则圆柱的表面积为( )
A.6π(4π+3) B.8π(3π+1)
C.6π(4π+3)或8π(3π+1) D.6π(4π+1)或8π(3π+2)
解析:圆柱的侧面积S侧=6π×4π=24π2.
由于圆柱的底面周长和母线长不明确,因此进行分类讨论:
①长为6π的边为母线时,4π为圆柱的底面周长,则2πr=4π,即r=2,∴S底=4π,∴S表=S侧+2S底=24π2+8π=8π(3π+1);
②长为4π的边为母线时,6π为圆柱的底面周长,则2πr=6π,即r=3.∴S底=9π,∴S表=S侧+2S底=24π2+18π=6π(4π+3).
C
(3)如图所示,圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则圆台的侧面积为( 　)
A.81π B.100π
C.14π D.169π
解析:圆台的轴截面如图,
设上底半径为r,则下底半径为4r,高为4r.
因为母线长为10,所以在轴截面等腰梯形中,
有102=(4r)2+(4r-r)2.解得r=2.
所以S圆台侧=π(r+4r)·10=100π.故选B.
C
（二）球
（1）从数学的角度应该怎样来刻画球面？
（2）球面可以通过什么图形旋转得到？
球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球.球也是一个旋转体.
由球面的形成过程可看出，球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的有关概念
形成球的半圆的圆心叫做球心。
连接球面上一点和球心的线段叫做球的半径。
连接球面上两点且过球心的线段叫做球的直径。
球心O
O
球的半径
A
B
球的表示
用球心字母表示。如：球O
问题3.球的轴截面是什么平面图形？
O
（1）球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆.此时，大圆的半径等于球的半径.
（2）球面被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆.
例5. 一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．
解　(1)当截面在球心的同侧时，
如图①所示为球的轴截面，由截面性质知AO1∥BO2，
O1，O2为两截面圆的圆心，且OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，
设球的半径为R，
∵π(O2B)2＝49π，∴O2B＝7 cm，
同理得：O1A＝20 cm.
设OO1＝x，则OO2＝(x＋9) cm，
在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①
在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，②
联立①②可得x＝15，R＝25.
∴S球＝4πR2＝2 500π cm2，
故球的表面积为2 500π cm2.
设球的半径为R，
∵π(O2B)2＝49π，∴O2B＝7 cm，
同理得：O1A＝20 cm.
设OO1＝x，则OO2＝(9-x) cm，
在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①
在Rt△OO2B中，R2＝72＋(9-x)2，②
联立①②可得x＝-15，
不合题意，舍去
故球的表面积为2 500π cm2.
解　(2)当截面在球心的两侧时，
如图①所示为球的轴截面，由截面性质知AO1∥BO2，
O1，O2为两截面圆的圆心，且OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，
经线：当我们把地球看成一个球时，经线就是
球面上从北极到南极的半个大圆，经度取值区
间为
纬线：赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆，纬度取值区间为
例6. 把地球看成一个半径为6370km的球，已知我国首都北京靠近北纬40°，求北纬40°纬线的长度.()
球的表面积
如果设球的半径为R，那么球的表面积为S＝4πR2
例7.已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为3，4，5，求球的表面积.

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