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(共33张PPT)
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
1. 掌握柱、锥、台和球体的体积的求法.（重点）
2.了解柱、锥、台和球的体积计算公式，能运用柱、锥、台和球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关的实际问题.（难点）
情景引入
一个几何体所占空间的大小称为这个几何体的体积，长方体的体积，圆柱的体积都等于底面积乘以高.那么能否求出其他几何体的体积呢？
同一摞书，当改变摆放书的形状时（如图所示），这摞书的总体积是否会改变？由此能得到有关体积的什么结论？
祖暅,字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县人（今河北省涞源县人），南北朝时代的伟大科学家。祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了体积的计算原理。祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。
“势”即是高，“幂”即是面积。
祖暅原理：幂势既同，则积不容异.
水平截面面积
高
这就是说,夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等，如图所示.
1.祖暅原理
被平行于这两个平面的任意平面所截时，三棱锥和三棱柱不满足两个截面的面积总相等，故这两个几何体的体积不相等．
根据祖暅原理，知三棱柱ABC－A1B1C1与圆柱O′O的体积相等．
思考3
（1）夹在两个平行平面间的三棱锥和三棱柱，如果它们的底面积相等，那么这两个几何体的体积是否相等？
（2）若三棱柱ABC－A1B1C1与圆柱O′O的高相等，且△ABC的面积与底面圆O的面积相等，那么它们的体积是否相等？
2.柱体体积
问题：如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体的体积公式吗？
3.锥体体积
问题：如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱锥和圆锥，你能用祖暅原理推导锥体的体积公式吗？
S
h
S
S
h
3.锥体体积
如图所示的直三棱柱可以分成3个三棱锥，所得到的,3个三棱锥的体积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？
例1. 如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，求棱锥D'-A'CD的体积与长方体的体积比.
例题讲解
例题讲解
1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中截去三棱锥D-A1B1C1,若AB⊥AC，AB=4 cm，AC=3 cm，AA1=5 cm，BD=2 cm,则剩余部分的体积为______cm3.
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例2. 如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为__________
例题讲解
4.台体体积
问题：我们学过柱体和锥体的体积公式，那么台体的体积可以通过我们已知的知识得到吗？
例3. 已知四棱台上、下底面面积分别为S1,S2，而且高为h，求这个棱台的体积。
例题讲解
问题：柱体、锥体、台体它们的体积公式之间有怎样的联系呢？
三者之间的关系
上底扩大
上底缩小
例3.(1)过长方体的一个顶点的三条棱长的比为1∶2∶3，对角线的长为2，求这个长方体的体积；
(2)如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比．
例题讲解
例题讲解
例4. (1)已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积；
(2)如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．
例题讲解
例题讲解
(2)作轴截面A1ABB1，设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l，作A1D⊥AB于点D．
例题讲解
问题：
（1）你能想办法测出一个乒乓球的体积吗？
（2）如图所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球，右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，分别指出截面的形状，并讨论两个截面面积的大小关系，由此你能得到球的体积公式吗？
5.球体体积
例5．若将球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的(　　)
A．2倍　 B．4倍　 C．8倍　 D．16倍
例题讲解
例6. 如图，某铁制零件由一个正四棱柱和一个球组成，已知
正四棱柱底面边长与球的直径均为1cm，正四棱柱的高为2cm，
现有这种零件一盒共50kg，取铁的密度为7.8g/cm3，
（1）估计有多少个这样的零件；
（2）如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，
则需要能涂多少平方厘米的材料（球与接口处的面积不计，结
果精确到1cm2）？
例题讲解
例题讲解
4.三棱锥以任何一面都可以充当底面，在解题中要注意体会。
1.几何体的体积就是它们占据空间的大小，掌握它们的体积公式及解有关问题的关键。
3.注意体积公式中量，以及各量的求法。
2.对于台体、球体的公式，应强加记忆。
本节课你学到了哪些知识？
1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为(　　)
A
2.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是(　　)
D
3.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆,则圆锥的体积是　　.
4.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8,体积为14 cm3,则该棱台的高为　　　　　.
2 cm
5.如图所示,四棱锥的底面ABCD是一个矩形,AC与BD交于点M,VM是四棱锥的高.若VM=4 cm,AB=4 cm,VC=5 cm,求四棱锥的体积.

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