资源简介

9.1.1 正弦定理
1.了解正弦定理的推导过程.
2.掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（重点、难点）
4.在直角三角形ABC中,C=900,则 .
复习回顾
1.角的关系：
2.边的关系：
3.边角关系：
A
C
B
C
B
A
你还记得三角形的哪些边、角关系？
两边之和大于第三边，
两边之差小于第三边
大角对大边，大边对大角；
小角对小边，小边对小角；
等边对等角
5.三角形的分类：
6.三角形外接圆：
与三角形各顶点都相交的圆。
三角形外接圆圆心是 三边垂直平分线交点
复习回顾
7.三角形全等条件
（1）边角边：两边及其夹角对应相百等,这两个三角形全等.简写成（S.A.S）
（2）角边角：两角及其度夹边对应相等,这两个三角形全等.简写成（A.S.A）
（3）角角边：两角及其一角所对的边对应相等,这两个三角形全等.简写成：（A.A.S）
（4）边边边：三条边分别对应相等,这两个三角形答全等.简写成：（S.S.S）
（5）直角边斜边：斜边和其中的一条直角边分别对应相等,这两个三角形全等.简写成：（H.L）
复习回顾
情境与问题
在现代生活中，得益于科技的发展.距离的测量能 借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成.不过，在这些工具没有出现以前.你知道人们是怎样间接获得两点间的距离的吗？
为了方便，将△ABC 3个内角A，B, C 所对的边分别记为a，b，c.
如图所示.若想知道河对岸的一点A与岸边—点H之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这3个量，求出AB的长吗？
b
????
?
c
在这样的约定下，情境中的问题可以转化为：已知a，B，C，如何求c.
(1) 如图所示，已知△ABC 中,“a=5,b=3, C= ,你能求出这个三角形的面积吗？
(2) 一般地，在△ABC中,如何根据a,b与C的值,求出这个三角形的面积？
解:(1)如图所示,在中△ABC中,过点A作BC边上的高AD,
在Rt△ADC中,由正弦的定义可知 AD = bsinC,
A
B
C
b
????
?
D
想一想:
因此所求三角形的面积为
(2)一般地，在△ABC中,如何根据a,b与C的值,求出这个三角形的面积？
解:当C为锐角时，在Rt△ADC中,由正弦的定义
可知AD = bsinC,则
当C为钝角时,如图,仍设△ABC的BC 边上的
为AD，则
当C为直角时，sinC=sin900 =1，
仍有
A
B
C
b
????
?
D
A
B
C
a
b
D
1.三角形面积公式
在△ABC中,用上述方法，可以推导出以下公式： ①已知b，c与A的值,则
②已知a，c与B的值,则
一般地，记△ABC的面积为S，则
知识归纳
2.正弦定理
由此三角形面积公式
可得
这就是正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等。
可知
如图作△ABC外接圆，R为△ABC外接圆半径CD为外接圆O的直径，连接BD，则∠A=∠D
A
B
C
a
b
c
O
D
用三角形外接圆法推导正弦定理
（R为△ABC外接圆半径）
从而证得
直径所对的圆周角是直角，即∠CBD为直角
正弦定理及其变形
在?ABC中，角A，B，C，所对应的边分别为a，b，c，三角形外接圆半径为R，正弦定理：
变形：
C
A
a
B
b
c
左右分别相加做比值
适用于任何三角形
例1 已知△ABC中，B=75°,C=60°,a =10,求 c.
解：由已知可得 A=180°- B-C = 180°-75°-60°=45°.
由正向定理可知
所以
注意: 在一个三角形中，已知两个角与一条边，就可求这个三角形的另外一个角，然后由正弦定理可求出该三角形其他的两条边.
这与初中所学的三角形全等的判定定理AAS（或ASA）一致.
把三角形3个角与3条边都称为三角形的元素。已知三角形的若干元素求其他元素称为解三角形。
题型1：已知两角和任一边，求其他两边和其余一角．
例2：
解：
注意：根据以上解答可知.右图中的(1)(2)都满足例2的条件.事实上，这与我们初屮所学的SSA不能作为:角形全等的判定定理一致.
题型2：已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角.
B
A
C
C
B
A
(1)
(2)
例3：
解：
题型3：已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角.
例4：
解：
题型4：已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角.
例2、例3、例4都是两边及一边的对角，此时三角形形状不确定，所以解的个数不确定.题中最终有几个解是由已知条件所确定的，明确所求角的范围是解题的关键.
方法归纳
探究三角形解的个数的确定因素
1.画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。
①若无交点，则无解；
②若有一个交点，则有一个解；
③若有两个交点，则有两个解；
④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。
2.公式法：运用正弦定理进行求解。
①a＝bsinA，△＝0，则一个解；
②a＞bsinA，△＞0，则两个解；
③a＜bsinA，△＜0，则无解。
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}A
为
锐
角
图形
关系
????????=????sin????
????sin????????≥????
解的个数
0
1
2
1
A
为
钝
角
或
直
角
图形
关系
????≤????
????≤????
????>????
????>????
解的个数
0
0
1
1
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}A
为
锐
角
图形
关系
解的个数
0
1
2
1
A
为
钝
角
或
直
角
图形
关系
解的个数
0
0
1
1
练一练：
1.下列关于△ABC的说法正确的是（　　）
A.若a＝7，b＝14，A＝30°，则B有两解
B.若a＝30，b＝25，A＝150°，则B只有一解
C.若a＝6，b＝9，A＝45°，则B有两解
D.若b＝9，c＝10，B＝60°，则C无解
B
A项中，∵???????????????? ????=???????????????? ????,∴sin B=???????????????? ????????=14×127=1,∴B=90°,即只有一解，A项错误；
?
B项中，∵???????????????? ????=???????????????? ????,∴sin B=???????????????? ????????
25×1230<1,又∵A为钝角,B只有一解，故B项正确；
?
C项中，∵???????????????? ????=???????????????? ????,∴sin B=???????????????? ????????=9×226>1,又∵B不存在,即一解，C项错误；
?
D项中，∵???????????????? ????=???????????????? ????,∴sin C=???????????????? ????????=10×329<1,又∵b?
解析：
例5：
证明：
代入
角化边
解：由正弦定理可知
因此
因此，?ABC为等腰三角形或直角三角形。
边化角
代入
练一练：2.
1．利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、 配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
2．利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
知识归纳
利用正弦定理判断三角形形状的两种方法：
例6：如图所示，在?ABC中，已知 的角分线AD与边BC相交于点D，求证：
证明：如图，设
则由题意可知
在?ABD和?ADC中，分别应用正弦定理，可得
两式相除即可得
内角平分线定理
一题多解：本题也可用面积公式或平面几何知识证明！
D
A
B
C
β
β
α
π–α
1.正弦定理：
正弦定理常用变形：
2.三角形面积公式：
3．正弦定理的应用范围
(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角．
本节课你学到了哪些知识？

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