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1.3.2 课时2
等比数列的前n项和的性质及应用
1.掌握等比数列前n项和的性质及其应用.
2.能够运用等比数列的知识解决有关实际问题.
等比数列的前n项和公式
q=1
q≠1且q≠0
尝试:用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n.
思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n
＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm
＝Sm＋qmSn.
思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m
＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn
＝Sn＋qnSm.
讨论1：类比等差数列中的性质，在等比数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)有啥关系吗？
Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下：
由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，
故有S2n－Sn＝qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，
故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
讨论2：类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？
若等比数列{an}的项数有2n项，
则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，
若等比数列{an}的项数有2n＋1项，
则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…
＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，
于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，
即S奇＝a1＋qS偶.
归纳总结
等比数列前n项和公式的性质
1.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋).
2.当n是偶数时，S偶=S奇·q；当n是奇数时，S奇=a1+S偶·q.
3.数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠-1).
限制q≠-1是因为当q=-1且m是偶数时,
Sm，S2m-Sm，S3m-S2m都等于0，不是等比数列.
例1 已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2，S3n=14，求S4n的值.
例2 一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式.
例3《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为( )
A.96 B.126
C.192 D.252
C
解析：由题意得，该人每天走的路程里数形成以a1为首项，以为公比的等比数列，
因为该人6天后到达目的地，则有S6==378，
解得a1=192，
所以该人第1天所走路程里数为192.
故选C.
1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于( )
A.－9 B.－21 C.－25 D.－63
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于( )
A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3
3.若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为_____，项数为_____.
B
2
9
A
5.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为　　.
3

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