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— 第二章 导数及其应用 —
2.2.1 导数的概念
1.理解导数的概念.
2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
3.理解导数的实际意义.
说一说函数????????在[????1，????2]的平均变化率公式．
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平均变化率 ＝????????2?????????1????2?????1．
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追问：如果用????1与增量Δ????表示平均变化率的公式是怎样的？
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平均变化率 ＝????????1+Δ?????????????1Δ????．
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我们如何得到函数????????在????1处的瞬时变化率？
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当Δ????趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是????????在点????1的瞬时变化率．
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设函数????=????????，当自变量????从????0变到????1时，函数值y从????????0变到????????1，函数值y关于x的平均变化率为Δ????Δ????=????????1?????????0????1?????0=????????0+Δ?????????????0Δ????
当????1趋于????0，即Δ????趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，我们称这个值为平均变化率的极限，记作lim????1→????0????????1?????????0????1?????0或limΔ????→0Δ????Δ????，那么这个值就是函数????=????????在点????0的瞬时变化率，在数学中，称瞬时变化率为函数????=????????在点????0处的导数，通常用符号????′????0表示，记作????′????0=lim????1→????0????????1?????????0????1?????0=limΔ????→0????????0+Δ?????????????0Δ????．
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极限与导数
例1 若????′????0=????，则limΔ????→0????????0+Δ?????????????0?Δ????2Δ????的值为( )
A.?2???? B.?2???? C.????? D.?–????
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解析：∵????′????0=limΔ????→0????????0+Δ?????????????0Δ????=????，
∴limΔ????→0????????0+Δ?????????????0?Δ????2Δ????=limΔ????→0????????0+Δ?????????????0+????????0?????????0?Δ????2Δ????
=12limΔ????→0????????0+Δ?????????????0Δ????+12limΔ????→0????????0?????????0?3Δ?????3Δ????=????2+????2=????．
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C
例2 求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
解：∵Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，
∴??????????＝6＋3Δx，
∴f ′(1)＝lim?????→0??????????＝lim?????→0 (6＋3Δx)＝6.
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变式：已知函数y＝3x2，若????′????0=0，则x0为何值？
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解：∵Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)＝3(x0＋Δx)2－3x02＝6x0Δx＋3(Δx)2，
∴??????????＝6x0＋3Δx，
∴f ′(x0)＝lim?????→0??????????＝lim?????→0 (6x0＋3Δx)＝6x0，
由f ′(x0)＝0，可得x0＝0.
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方法归纳
求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤
简称：一差、二比、三极限.
例3 某小区的某一天用电量y(单位：kW·h)是时间x(单位：h)的函数y＝f(x)，假设函数y＝f(x)在x＝5和x＝12处的导数分别为f′(5)＝12和f′(12)＝50，试解释它们的实际意义.
解：f′(5)＝12表示该小区某一天开始用电后5 h时的用电量增加的速度为12 kW；
f′(12)＝50表示该小区某一天开始用电后12 h时的用电量增加的速度为50 kW.
1.f(x)＝x2在x＝1处的导数为( )
A.2x B.2 C.2＋Δx D.1
2.(多选)设函数f(x)在x＝x0处可导，以下有关 的值的说法中不正确的是( )
A.与x0，h都有关 B.仅与x0有关而与h无关
C.仅与h有关而与x0无关 D.与x0，h均无关
B
ACD
3.汽车在笔直公路上行驶，如果v(t)表示t时刻的速度，则当Δt趋近于0时，
的意义是( )
A.表示当t＝t0时汽车的加速度
B.表示当t＝t0时汽车的瞬时速度
C.表示当t＝t0时汽车的路程变化率
D.表示当t＝t0时汽车与起点的距离
4.若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是( )
A.1 B.－1 C.±1 D.33
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A
C
根据今天所学，回答下列问题：
1.导数的概念和数学符号？
2.导数在实际问题中的意义？

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