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第二章 导数及其应用
2.3 导数的计算
北师大版(2019)选择性必修二
1.理解导函数的概念．
2.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2， ????=????????，????=?????的导数．
3.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．
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导数的几何意义
函数y=f(x)在x0处的导数f＇(x0)，是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.
问题：已知函数????????=????2，任取一个实数????0，判断????????在????0处是否可导，如果可导，求出????′????0.
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设自变量在????=????0附近的改变量为?????，则函数在以????0， ????0+ ?????为端点的闭区间上的平均变化率为
?????????? =????????0+??????????(????0)????? =(????0+?????)2?????02????? =2????0+?????.
可以看出，当?????无限接近于0时，平均变化率无限接近于2????0，因此????????在????0处可导，而且
????′????0 =lim?????→0????????0+??????????(????0)?????=lim?????→02????0+?????=2????0.
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????′????0 =2????0
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思考：请观察????′????0与????0有什么关系？
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????′????0随着????0变化而变化，而且????0的值确定之后，????′????0也就确定了.
例如 ????0=2时， ????′2 =2×2=4；
????0=?3时， ????′?3 =2×?3=?6；
这就说明，????′????0是????0的函数.
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一般地，如果一个函数y=f(x)在区间（a,b）的每一点x处都有导数
那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y=f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y′.
例1 分别求出下列函数的导数：
（1） ????????=????，期中C是常数； （2） ????????=????； （3）????????=????3;
（4）????????=1????； （5）????????=????(????>0).
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解：(1)根据定义可知????′???? =lim?????→0????????+??????????(????)?????=lim?????→0??????????????=lim?????→00=0.
(2)根据定义可知????′???? =lim?????→0????????+??????????(????)?????=lim?????→0????+???????????????=lim?????→01=1.
(3)根据定义可知????′???? =lim?????→0????????+??????????(????)?????
=lim?????→0????+?????3?????3?????=lim?????→0[ 3????2+3???? ?????+(?????)2]=3????2.
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（4）????????=1????； （5）????????=????(????>0).
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(4)根据定义可知????′???? =lim?????→0????????+??????????(????)?????
=lim?????→01????+??????1?????????=lim?????→0?1????(????+?????)=?1????2.
(5)根据定义可知????′???? =lim?????→0????????+??????????(????)?????
=lim?????→0????+???????????????=lim?????→0??????????(????+?????+????)=lim?????→01????+?????+????=12????.
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为了简单起见，前面我们得到的有关导函数的结论通常简写为:
????′ =0； ????′ =1； (????2)′ =2????；
(????3)′ =3????2； (1????)′ =?1????2； (????)′ =12????.
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观察上述导函数的结论，归纳出????????=????????（ ????≠0?）的导函数具有形式(即写出(????????)′的结果).
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注意到1???? =?????1，1????2=?????2，所以(1????)′=?1????2可以改写为(?????1)′ =??????2；
类似地，(????)′ =12????可以改写为(????12)′ =12?????12.
结合(????2)′ =2x和(????3)′ =3????2，可以归纳出(????????)′ =?????????????1.
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函数
导数
y＝c(c是常数)
y′＝___
y＝xα(α是实数)
y′＝αxα－1
y＝ax(a>0，a≠1)
y′＝ 特别地(ex)′＝___
y＝logax(a>0，a≠1)
y′＝_______特别地(ln x)′＝____
y＝sin x
y′＝_______
y＝cos x
y′＝________
y＝tan x
y′＝________
axln a
ex
0
cos x
－sin x
归纳总结
(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导.
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导.
(3)要特别注意“ 与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别.
例3 已知函数 ????????=????3 .
（1） 求曲线 f???? 在点 1,????1 处的切线方程；
（2） 求曲线 fx 过点 A1,f1 的切线方程.
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解：（1） 由 ????????=????3 ，得 ???? ′x=3????2 ，
故切线斜率 ????=???? ′1=3 ，
又 ???? 1=1 ，
所以切线方程为 ?????1=3?????1 ，即 3?????y?2=0 .
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① 当 A1,f1 为切点时，由（1）知，切线方程为 3x?y?2=0 ；
②当 A1,f1 不为切点时，
设切点为 x0,x03 ，则切线斜率 k=f′x0=3x02 ，
故切线方程为 y?x03=3x02x?x0 ，
又切线过点 A1,f1 ，所以 1?x03=3x021?x0 ，
解得 x0=1 （舍去）或 x0=?12 ，
因此切线方程为 3x?4y+1=0 .
综上，过点 A1,f1 的切线方程为 3x?y?2=0 或 3x?4y+1=0 .
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例3 已知函数 ????????=????3 .
（2） 求曲线 fx 过点 A1,f1 的切线方程.
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归纳总结
利用导数的几何意义解决切线问题：
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．　
1.函数y=3x2在x=1处的导数为(　　)
A.6 B.3x C.3+Δx D.6x
2.已知函数f(x)=x2-x+5，则f'(x)等于(　　)
A.x2-x B.2x+5
C.2x-1 D.x2-x+5
A
C
3.(多选)下列结论正确的是( )
A.(sin x)′＝cos x B. ＝
AD
4.设函数f(x)＝log????????，f′(1)＝－1，则a＝________.
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5.曲线 在点(4，2)处的切线方程为 .

1????
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?????4????+4=0
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根据今天所学，回答下列问题：
1.如何求函数的导数？
2.基本初等函数的导数公式？

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