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第二章 导数及其应用
2.4.1 导数的加法与减法法则
北师大版(2019)选择性必修二
1.掌握导数的加、减法则，并能运用法则求函数的导数．
{74C1A8A3-306A-4EB7-A6B1-4F7E0EB9C5D6}常用函数的求导公式
????
?
?????????????????
?
????????????????????
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????????????????????
?
????????????????
?
?????????????????
?
????????
?
????????
?
问题：设由????????=????2，?????????=????，且?????=????????+????????=????2+????，猜测?′???? 与????′????，????′????的关系.
?
?′???? =????′????+????′????=(????2)′ +(????)′=2????+1.
?
猜测：
利用导数的定义，请证明此猜测.
设?????=????????+????????，则
???????=?????+???????(????)?????=????????+?????+????????+??????[????????+????????]?????
=????????+??????????????+[????????+??????????????]?????=??????????+??????????，
所以?????→0????????????????????=?????→0???????????????????????+??????????=?????→0???????????????????????+?????→0???????????????????????，
即?????′=????????′+????????′.
?
证明：
问题：设由????????=????2，?????????=????，且?????=????????+????????=????2+????，猜测?′???? 与????′????，????′????的关系.
?
一般的如果????????与?????????都可导，则
即两个函数之和的导数，等于这两个函数的导数之和.
?
????????+????????′=????????′+????????′
?
类似地，如果????????，?????????都可导，则
即两个函数之差的导数，等于这两个函数的导数之差.
?
?????????????????′=????????′?????????′
?
和
差
例1 求下列函数的导数：
(1)y=x-2+x2；(2)y=x2-log3x；(3)y=(x+1)(x+2)(x+3).
解：(1)y'=2x-2x-3.
(3)∵y=(x+1)(x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6，∴y'=(x3+6x2+11x+6)'=3x2+12x+11.
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则、基本公式.
(2)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的.
方法总结
例2 求曲线y=2x-x3在点(1，1) 处的切线方程.
解：因为y?=(2x-x3)?=(2x)?-(x3)?=2-3x2，
将x=1代入导数，得 2-3×12=-1，
即曲线y=2x-x3在点(1，1)处的切线斜率为-1，
从而其切线的方程为 y-1=-1(x-1)，即x+y-2=0.
例3 直线l为曲线f(x)＝x3＋x－16的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.
解：设切点为(x0，y0)，
又因为直线l过点(0，0)，
所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.
即直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).
求切线方程时应充分利用切点满足的三个关系：
①切点坐标满足曲线方程；
②切点坐标满足对应切线的方程；
③切线的斜率是函数在此切点处的导数值.
方法总结
1.已知f(x)=x2+m,则f'(x)=(　　)
A.2x B.2x+m C.2x+1 D.x2+m
2.函数y=ex-sin x的导数为(　　)
A.ln x-cos x B.ex-cos x
C.ex+cos x D.ex-sin x
A
B
3.下列四组函数中导数相等的是(　　)
A.f(x)＝2与g(x)＝2x B.f(x)＝－sin x与g(x)＝cos x
C.f(x)＝2－cos x与g(x)＝－sin x D.f(x)＝1－x2与g(x)＝－x2＋4
4.曲线f(x)=1????+x2在(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A.3x＋2y＋1＝0 B.3x＋2y－7＝0
C.3x－2y＋1＝0 D.3x－2y－7＝0
?
D
C
根据今天所学，阐述一下导数的加减法则.

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