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第二章 导数及其应用
2.6.2 函数的极值
北师大版(2019)选择性必修二
1.理解函数的极大值和极小值的概念.
2.掌握求极值的步骤，会利用导数求函数的极值.
情境：在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是其附近的最低点.
观察图中函数????=????(????)的图像，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方，如果有，尝试用数学语言描述.
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从图中可以看出，函数????=????(????)在????1，????3，????5这三点对应的函数值，都是其附近的函数值中的最大者；而在????2，????4这两点对应的函数值,都是其附近的函数值中的最小者.
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一、极值点与极值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有
(1) f (x) (2) f (x)>f (x0)，则称x0为函数f (x)的一个极小值点，且f (x)在x0处取极小值.
极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值. 显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小.
思考：在一个函数中，极大值一定比极小值大吗？
由概念可知，函数的极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质，并且一个函数可以有若干个极大值与极小值.
如图，函数 y = f (x) 的极小值 f (a) 大于极大值 f (d)；极大值 f (b) 大于极小值 f (c)；即函数的极大值与极小值没有必然的大小关系.
探究1.从图所示的函数????=????(????)图像中可以看出，A，B，C，D对应的横坐标????1，????2，????3，????4?都是函数的极值点，已知曲线????=????(????)在A，B，C，D之处都存在切线.?
（1）A，B，C，D处的切线具有什么特征？这说明????(????)在????1，????2，????3，????4处的导数具有什么特点？
（2）曲线????=????(????)在A，B，C，D附近的点处
的切线具有什么特征？
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可以看出，曲线????=????(????)在A，B，C，D处的切线都是水平的，这等价于
????′????1=????′????2=????′????3=????′????4=0.
在A点与C点左侧的附近，曲线的切线斜率都大于0；在右侧的附近曲线的切线斜率都小于0. 在B点与D点的附近则正好相反，因此在两侧附近的符号不一样.
一般地，如果????0是????=????(????)的极值点，且????(????)在????0处可导，则必有
????′????0=0.
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二、函数的导数与极值
(1)极小值点与极小值
若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝_____，而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧_________，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，______叫做函数y＝f (x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝_____，而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧_________，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，______叫做函数y＝f (x)的极大值．
0
f ′(x)<0
f ′(x)>0
f (a)
0
f ′(x)>0
f ′(x)<0
f (b)
例1 求下列函数的极值.
解：(1)f'(x)=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2.
令f'(x)=0，解得x1=-1，x2=0，x3=1.
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞，-1)
-1
(-1，0)
0
(0，1)
1
(1，+∞)
f'(x)
-
0
-
0
+
0
+
f(x)
↘
无极值
↘
极小值0
↗
无极值
↗
∴当x=0时，f(x)有极小值且f(x)极小值=0，没有极大值.
当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表:
求可导函数f(x)的极值的步骤:
①求导数f'(x).
②求方程f'(x)=0的根.
③观察f'(x)在方程f'(x)=0的根左右两边的符号，
如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极大值；
如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值.
方法归纳
例2 设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1，其中a≥1.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)讨论f(x)的极值.
解：由已知得f'(x)=6x[x-(a-1)]，
令f'(x)=0，解得x1=0，x2=a-1，
(1)当a=1时，f'(x)=6x2≥0，
f(x)在(-∞，+∞)内单调递增.
当a>1时，f'(x)=6x[x-(a-1)]，
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞，0)
0
(0，a-1)
a-1
(a-1，+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
从上表可知，函数f(x)在(-∞，0)内单调递增，
在(0，a-1)内单调递减，在(a-1，+∞)内单调递增.
综上，当a=1时，f(x)的单调递增区间为(-∞，+∞);
当a>1时，f(x)的单调递增区间为(-∞，0)，(a-1，+∞)，单调递减区间为(0，a-1).
(2)由(1)知，当a=1时，函数f(x)没有极值.
当a>1时，函数在x=0处取得极大值1，在x=a-1处取得极小值1-(a-1)3.
例3 设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x=1，x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.
解：(1)∵f(x)=aln?x+bx2+x，∴f'(x)=????????+2bx+1，x>0，
∵f'(1)=f'(2)=0，∴a+2b+1=0且????2+4b+1=0，
解得a=-23，b=-16.
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(2)判断x=1，x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.
(2)由(1)知f(x)=-23ln?x-16x2+x，且定义域为(0，+∞)，
f'(x)=-23x-1-13x+1=-(?????1)(?????2)3????，
当x∈(0，1)时，f'(x)<0；
当x∈(1，2)时，f'(x)>0；
当x∈(2，+∞)时，f'(x)<0.
故x=1是函数f(x)的极小值点，x=2是函数f(x)的极大值点.
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已知函数的极值求参数时应注意两点：
(1)待定系数法:常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解.
(2)验证:因为导数值为0的解不一定就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证.
方法总结
D
2.函数y＝x＋ln x的极值情况是( 　 )
A.有极小值 B.有极大值
C.既有极大值又有极小值 D.无极值
3.(多选)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是( 　 )
A.y＝x3 B.y＝x2＋1
C.y＝|x| D.y＝2x
4.已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于( 　 )
A.－4 B.－2 C.4 D.2
D
BC
D
求可导函数y＝f (x)的极值的方法
解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是___________；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是___________．
极大值
极小值

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