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4.2.4 积化和差
与和差化积公式
第四章 三角恒等变换
1.会推导三角函数的积化和差与和差化积公式；
2. 会简单的三角函数的积化和差与和差化积的应用 .
重点：掌握积化和差与和差化积公式的推导过程；
难点：公式的应用以及三角恒等式变换的一般规律 .
复习：两角和与差的正、余弦公式
cos( - ) = cos cos + sin sin ①； cos( + )= cos cos -sin sin ②；
sin( + ) = sin cos + cos sin ③； sin( - )= sin cos -cos sin ④.
问题1：把 ① 和 ② 相加可得什么？
cos cos = [cos( + )+cos( - )]
问题2：把 ③ 和 ④ 相加可得什么？
问题3：把 ① 和 ② 相减可得什么？
问题4：把 ③ 和 ④ 相减可得什么？
sin cos = [sin( + )+sin( - )]
sin sin = [cos( - )-cos( + )]
cos sin = [sin( + )-sin( - )]
积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘常数的形式，常用于三角函数的求值和化简.
积化和差公式
cos cos = [cos( + )+cos( - )]
sin cos = [sin( + )+sin( - )]
sin sin = - [cos( + )-cos( - )]
cos sin = [sin( + )-sin( - )]
例1：求 sin cos 的值.
解：sin cos
= (sin + sin )
=
= [sin( + ) + sin( - )]
证明：sin15°sin30° sin75°
例2：求证 sin15°sin30° sin75°= .
= - [cos(15°+sin75°) + cos(15°-sin75°)]
= - (cos90°- cos60°)
= - ×（- ) =
= sin15°sin75°
从积化和差公式的四个公式可以得出：
[cos( + ) + cos( - )] = 2cos cos
[sin( + ) + sin( - )] = 2sin cos
[cos( - ) - cos( + )] = 2sin sin
[sin( + ) - sin( - )] = 2cos sin
设 ɑ + β = x，ɑ - β = y，则 ɑ = ，β = .
cosx + cosy = 2cos cos
sinx + siny = 2sin cos
cosx - cosy = -2sin cos
sinx - siny = 2cos cos
我们利用和差化积公式和其他三角函数关系式，可把三角函数的和或差化成积的形式 .
和差化积公式
sinx + siny = 2sin cos
sinx - siny = 2cos cos
cosx + cosy = 2cos cos
cosx - cosy = - 2sin cos
例3：把下列各式化为积的形式；
（1）sin103°+ sin17°；
（2）cos (ɑ + ) - cos (ɑ - ) .
解：（1）sin103°+sin17°cos = cos43；
= -2 = .
（2） cos (ɑ + ) - cos (ɑ - )=
例4：把 cos x + 化为积的形式.
解：cos x + =
cos x + cos
= 2cos cos
= 2cos cos
练一练：计算下列各值.
（1）求 sin105°+ sin15°的值；（2） 求sin cos 的值 .
解：(1) sin105°+sin15°= cos = cos45 = ；
(2) sin cos
= [sin( + ) + sin( )]
= （sin - sin ）=
积化和差公式
cos cos = [cos( + )+cos( - )]
sin cos = [sin( + )+sin( - )]
sin sin = - [cos( + )-cos( - )]
cos sin = [sin( + )-sin( - )]
和差化积公式
sinx + siny = 2sin cos
sinx - siny = 2cos cos
cosx + cosy = 2cos cos
cosx - cosy = - 2sin cos

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