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4.3.1 二倍角公式
第四章 三角恒等变换
1.能利用两角和的正弦、余弦和正切公式推导二倍角公式；
2.会利用二倍角公式进行简单的恒等变换.
重点：二倍角公式的应用；
难点：公式的正用、逆用和变形 .
两角差的余弦公式：
两角和的余弦公式：
两角和的正弦公式：
两角差的正弦公式：
两角和的正切公式：
两角差的正切公式：
思考：如何利用 S( ± )、C( ± )、 T( ± ) 推导出 sin2 ，cos2 ，tan2 的公式？
思考：sin 2α = ？
提示：和角公式：sin ( + ) = sin cos + cos sin 中，令 = （换元思想）；
同理：
二倍角公式
灵活运用：
1. 角的倍半关系是相对的，2α 是 α 的二倍，4.2α 是 2α 的二倍， 是 的二倍；
2. 当 α = kπ + (k ∈ Z) 时，tan α 的值不存在，求 tan 2α 的值可利用诱导公式.
由于 sin2 + cos2 = 1，所以 sin2 = 1-cos2 ，cos2α = 1-sin2α，
分别替换，可得 cos2α = cos2α - sin2α = cos2α - (1 - cos2α) = 2cos2α - 1，
cos2α = cos2α - sin2α = (1 - sin2α) - sin2α = 1 - 2sin2α.
思考：已知 cos 2α = cos2α - sin2α，结合 sin2 + cos2 = 1，还可以推导出哪些变形？
cos2α = cos2α - sin2α
= 2cos2α - 1
= 1 - 2sin2α
C2α 变形：
练习1：求下列各式的值：
（1）sin15°cos15°； （2）cos2-sin2； （3）2cos222.5°- 1.
例1：已知角 α 是第二象限角，cosα = ， 求 sin 2α ，cos 2α，tan 2α 的值 .
解：因为角 α 是第二象限角，所以 sin α > 0，sinα =
由二倍角公式，有 sin 2α = 2sin α·cos α ，
cos2α = 2cos2α-1
例2：在△ABC中 ，已知 AB = AC = 2BC ，求角 A 的正弦的值 .
解：过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 D，
因为 ，
设 ，则 .
所以 ，
因为 0 < 2θ < π ，所以 0 < θ < ，
于是 ，
故 .
A
C
B
D
θ
练习2：已知 ： ，求 的值 .
练习3：在 中， ， ，求 的值.
解：（方法一）在 中， ， ，
解：（方法二）在 中， ， ，
练习3：在 中， ， ，求 的值.
1.二倍角正弦、余弦、正切公式：
2.注意正用 、逆用、变形用：
cos2α=2cos2α-1
cos2α=1-2sin2α

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