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5.1.2 复数的几何概念
第五章 复数
思考1：实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示. 那么复数有什么几何意义呢？
根据复数相等的定义，任何一个复数 z = a + bi 都可以由一个有序实数对 (a，b) 唯一确定；
反之，任意一个有序实数对 (a，b) 也能确定唯一一个复数.
思考2：根据以往的学习经验，说说复数的几何表示方法有哪些？
复数 z = a + bi
点
有序实数对
(a，b)
Z：a + bi
x
y
a
O
b
复平面
实轴：其上的点表示实数
虚轴：
除原点外都表示纯虚数
Z：a + bi
x
y
a
O
b
① 实数 0 与零向量对应；
② 向量 的模为复数的模，记作|z|；
③ |z| = |a + bi| = .
复数 z = a + bi
向量
有序实数对
(a，b)
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于 0 的共轭复数，也叫做共轭虚数.
共轭复数用 z 表示，即如果 z = a + bi ，那么 z = a - bi.
z
x
y
O
z
例1：实数 x 分别取什么值时，复数 z = (x2 + x - 6) + (x2 - 2x - 15) i 对应的点 Z 在：
（1）第三象限； （2）直线 x - y - 3 = 0 上.
解：（1）因为 x 是实数，所以 x2 + x - 6，x2 - 2x - 15 也是实数.
（2）z = x2 + x - 6 + (x2 - 2x - 15) i 对应点 Z (x2 + x - 6，x2 - 2x - 15)，
当实数 x 满足 (x2 + x - 6) - (x2 - 2x - 15) - 3 = 0，
即当 x = - 2 时，点 Z 在直线 x - y - 3 = 0 上.
当实数 x 满足，即当 - 3 < x < 2 时，点 Z 在第三象限；
例2 向量 对应的复数为 1 + 4i，向量 对应的复数为 -3 + 6i，则向量 + 对应的复数为（ ）
A. - 3 + 2i B. - 2 + 10i C.4 - 2i D. - 12i
解：向量 对应的复数为1 + 4i，向量 对应的复数为 - 3 + 6i，
所以 = (1，4)， = ( -3，6)，
所以 + = (1，4) + ( - 3，6) = ( - 2，10)，
所以向量 + 对应的复数为 -2 + 10i.
B
例3：复数 4 + 3i 与 -2 - 5i 分别表示向量 与 ，则向量 表示的复数是_________.
解：因为复数 4 + 3i 与 -2 - 5i 分别表示向量 与 ，
所以 = (4，3) = ( - 2， - 5).
又因为 = = ( -2，-5) - (4，3) = ( -6，-8)，
所以向量表示的复数是 - 6 - 8i.
-6 - 8i
例4：设复数 z = (x + 1) + (x - 3)i，x∈R，则 |z| 的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.2 D.4
解：|z| = = = ≥ 2；
即 |z| 的最小值为 2.
C
例5：设 z∈C，在复平面内 z 对应的点为 Z，那么满足下列条件的点 Z 的集合分别是什么图形.
（1）|z| = 1； （2）1 < |z| < 2.
解：（1）由 |z| = 1 得，向量 的模等于1，
所以满足条件的点的集合是以原点 O 为圆心，以 1 为半径的圆.
（2）不等式 |z| < 2 的解集是圆 |z| = 2 的内部所有点组成的集合；
不等式 |z| > 1 的解集是圆 |z| = 1 外部所有点组成的集合；
这两个集合的交集是以 O 为圆心，以 1 及 2 为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.
x
y
O
x
y
O
1
1
解：在复平面内三点坐标为 A (3，4)，B (0，0)，C (c，2c - 6)，
由∠BAC 为钝角，得 cos∠BAC < 0，且 A，B，C 不共线.
= ( -3，-4)， = (c - 3，2c - 10)，· = -11c + 49 < 0，解得 c > ；
又当与共线时，设 = λ，解得c = 9， λ = - 2，此时∠BAC为平角.
∴ c 的取值范围是 c > 且 c ≠ 9.
例6：复数 z1 = 3 + 4i，z2 = 0，z3 = c + (2c - 6)i 在复平面内对应的点分别为 A，B，C，若∠BAC 是钝角，求实数 c 的取值范围.
复数 z = a + bi
向量
点 Z (a，b)

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