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第6章 立体几何初步
1.2 简单的多面体
棱柱、棱锥和棱台
观察图中的几何体以及生活中
类似的几何体，想一想，
它们各有什么特点？
哪些几何体有共同点，
可以归为一类？
进一步观察图中的几何体，它们有什么样的共同特点？
多面体
名称
多面体
定义
由若干个 围成的几何体
图形
?
平面多边形
棱柱的结构特征
名称
定义
图形及表示
相关概念
分类
棱柱
有两个面互相 ，其余各面都是 ，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
?
如图可记作：
棱柱ABCDEF—
A′B′C′D′E′F′
①底面(底)
②侧面
③侧棱
④顶点
⑤对角线
⑥高
按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱……
平行
四边形
平行
(1)侧棱都相等；
(2)两个底面与平行于底面的截面
都是全等的多边形；
(3)过不相邻两条侧棱的截面
都是平行四边形．
棱柱的性质
通过对棱柱的观察，我们能
得到棱柱具有什么样的性质？
特殊的棱柱
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}名称
直棱柱
斜棱柱
正棱柱
定义
图形
侧棱垂直
于底面
侧棱不垂直
于底面
底面是正多边形
的直棱柱
特殊的四棱柱
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}名称
平行六面体
直平行六面体
长方体
正方体
定义
图形
底面是平行四边形的四棱柱
侧棱与底面垂直
的平行六面体
底面是矩形的
直平行六面体
棱长都相等
的长方体
名称
定义
图形及表示
相关概念
分类
棱锥
有一个面是 ，其余各面都是有一个公共顶点的 ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
?
如图可记作：棱锥S—ABCD
按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……三棱锥也叫做四面体.
棱锥的结构特征
多边形
三角形
①底面(底)
②侧面
③侧棱
④顶点
⑤高
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}定义
性质
底面是正多边形，
且它的顶点在过底面中心，且与底面垂直的直线上.
O
S
棱锥被平行于底面的平面所截，则截面和底面相似.
正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高.
O
S
M
正棱锥
棱台的结构特征
名称
定义
图形及表示
相关概念
分类
棱台
用一个_____ ___________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台
?
如图可记作：
棱台ABCD—A′B′C′D′
①上底面
②下底面
③侧面
④侧棱
⑤高
由三棱锥、四棱锥、
五棱锥……截得的棱台
分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
平行
于棱锥底面
D′
A
B
C
D
A′
B′
C′
H
H′
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}定义
图形
性质
正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，
这些等腰梯形的高称为正棱台的斜高．
正棱台
由正棱锥截得的棱台称为正棱台
题型一：棱柱的结构特征
例1　(1)下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；
②每一个面都不会是三角形；
③两底面平行，并且各侧棱也平行；
④被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确的说法的序号是______.
解析:①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形.
②错误，棱柱的底面可以是三角形.
③正确，由棱柱的定义易知.
④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是③④.
(2)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
解:①是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，
其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.
②截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－
DCND1.
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？
如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
题型二：棱锥、棱台的结构特征
例2　(1)有下列三种叙述：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
其中正确的有
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解:①中的平面不一定平行于底面，故①错；
②③可用反例去检验，如图所示，
侧棱延长线不能相交于一点，故②③错.故选A.
(2)下列说法中，正确的是
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
③棱锥的侧棱平行.
A.① B.①② C.② D.③
解:由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；
四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的
几何体都是三棱锥，故②正确；
棱锥的侧棱交于一点不平行，故③错.
(3)如图在三棱台A′B′C′-ABC中，截去三棱锥A′-ABC，则剩余部分是
A.三棱锥 B.四棱锥
C.三棱柱 D.三棱台
解:剩余部分为四棱锥A′-B′BCC′.
题型三：多面体的表面展开图
例3　(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个
正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)
解:其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中
可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻.相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻. 故选A.
(2)如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
解:图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；
图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；
图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，
符合棱台的特点.
把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.
1.下列说法中正确的是
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C.所有的几何体的表面都能展成平面图形
D.棱柱的各条棱都相等
解 :选B.棱柱的侧面都是四边形，A不正确；
正方体和长方体都是特殊的四棱柱，正确；
不是所有的几何体的表面都能展成平面图形，
球不能展开为平面图形，C不正确；
棱柱的各条棱都相等，不对，应该为侧棱相等，所以D不正确.
2.三棱锥的四个面中可以作为底面的有
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解 :三棱锥的每一个面均可作为底面，
故选D.
3.下列特征不是棱台必须具有的是
A.两底面平行
B.侧面都是梯形
C.侧棱长都相等
D.侧棱延长后相交于一点
解:用平行于棱锥底面的平面截棱锥，
截面和底面之间的部分叫做棱台，
A，B，D正确，选C.
4.顶点最少的一个棱台
有________条侧棱.?
解:顶点最少的一个棱台是三棱台，
它有3条侧棱.
5.长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发
沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线.
解:沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：
(1)若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝42+5+32＝80＝45.
?
(2)若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝32+5+42
＝90＝310.
(3)若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝4+32+52＝74.
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为74..
?
棱柱、棱锥、棱台之间的关系

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