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第6章 立体几何初步
1.3 简单旋转体
——球、圆柱、圆锥和圆台
球 图形及表示
定义：以 所在直线为旋转轴， 旋转 一周形成的旋转体叫做球体，简称球
图中的球表示为球O
相关概念： 球心：半圆的_____ 半径：半圆的_____ 直径：半圆的_____ 半圆的直径
半圆面
圆心
半径
直径
球的结构特征
球的性质
球面上所有点到球心
的距离都等于球的半径
用任何一个平面去截球面，
得到的截面都是圆，
其中过球心的平面截球面
得到的圆的半径最大，
等于球的半径
圆柱的结构特征
圆柱 图形及表示
定义：以 所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
图中圆柱表示为
圆柱O′O
相关概念： 圆柱的轴：________ 圆柱的底面：_________的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：_________的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，____________的边 矩形的一边
旋转轴
垂直于轴
平行于轴
不垂直于轴
圆锥的结构特征
圆锥 图形及表示
定义：以直角三角形的 所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体
图中圆锥表示
为圆锥SO
相关概念： 圆锥的轴：旋转轴 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边 一条直角边
圆台 图形及表示
定义：用 的平面去截圆锥， 之间的部分叫做圆台 旋转法定义：以直角梯形中 所在直线为旋转轴，将直角梯形绕旋转轴旋转一周而形成的旋转体叫做圆台
图中圆台表示为：
圆台O′O
相关概念： 圆台的轴：旋转轴 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 平行于圆锥底面
底面与截面
垂直于底边的腰
圆台的结构特征
圆柱、圆锥、圆台的性质
（1）平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆；
（2）过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是全等的矩形、
等腰三角形、等腰梯形.
题型一：旋转体的结构特征
解:①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；
②它们的底面为圆面；
③④⑤正确.
例1　(1)下列说法正确的是________.(填序号)
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的
曲面所围成的几何体是圆锥；
④半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；
⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.
(2)下列结论：
①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线相互平行.
其中正确的是 (　　)　　　　　
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
解:①所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，
若不是矩形，则与圆柱母线定义不符.
③若所取两点连线的延长线不与轴交于一点，则不符合圆台母线的定义.
②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质.故选D.
题型二：简单组合体的结构特征
例2 (1)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括　
A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆锥
C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥
解:图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周
所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥.故选D.
(2)如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD解:如图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体.
(3)请描述如图所示的几何体是如何形成的.
解:①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；
②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；
③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.
题型三：旋转体的有关计算
例3　一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.
解:圆台的轴截面是等腰梯形ABCD.
由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.
又由题意知腰长为12 cm，
所以高AM==3(cm).
如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，
设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
解得l＝20(cm).
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
则由△SAO1∽△SBO，可得，
例4 有一根高为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度.
题型四：圆柱的侧面展开
解:把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图所示)，
由题意知BC=3π cm，AB=4π cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，
故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.AC==5π cm，
故铁丝的最短长度为5π cm.
1.下列关于圆柱的说法中不正确的是
A.圆柱的所有母线长都相等
B.用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C.用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D.一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱
解:根据圆柱的定义和结构特征，易知C不正确.
2.如图几何体是由哪个平面图形旋转得到的
解:选A.根据题干图的形状，依据空间想象可得答案.
3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，
则这个圆锥的母线长为________.
解:如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，
由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，
且S△ABC= AB2，所以AB2 = ，
所以AB=2.故圆锥的母线长为2.
4.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为 .
解:由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，
设母线长为l，因为4π=πl2，所以l=2，又半圆的弧长为2π，
设底面圆的半径为r，圆锥的底面圆的周长为2πr=2π，
所以r=1，所以该圆锥的高为h= = .

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