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第6章 立体几何初步
2 直观图
1.把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图.比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系
发生了变化？哪些没有发生变化？
2.图①和图②分别是在中心投影和平行投影下的正方体的直观图，哪一个的立体感更强？
图①
图②
斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图
斜二测画法的步骤
(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴交于点O.
画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，
两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，
它们确定的平面表示水平面；
(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，
在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段 ；
(3)取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，
在y轴上平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
简记作：横(轴)不变，纵(轴)减半.
空间几何体直观图的画法
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，
直观图中与之对应的是z′轴.
(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′
表示竖直平面.
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，
在其直观图中平行性和长度都不变.
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.
题型一：平面图形的直观图
例1 (1)给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行.
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
解:选C.由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，所以④对，①对；
而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，所以②③错.
(2)用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
B′
C′
A′
D′
E′
F′
x′
y′
O′
B′
C′
A′
D′
E′
F′
M′
N′
第一步：在原图建直角
坐标系（尽量对称建系），找出与坐标轴的交点.
第二步：在新建直角坐标系中按照横不变纵减半的原则描点画线.
.
第三步：擦掉作图的辅助
线和坐标系，保留轮廓线，
便得正六边形的直观图.
y
x
O
A
B
C
D
E
F
M
N
题型二：空间几何体的直观图
例2 画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.
解：
(1)画轴：画x轴，y轴，z轴，三轴交于一点O，
使∠xOy=45°，∠xOz=90°.
(2)画底面：以O为中心，在x轴上取线段MN，
使MN=4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ=cm；
分别过点 M 和 N 做 y 轴的平行线，过点 P 和
Q 做 x 轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、
C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
x
y
z
O
A
B
C
D
M
N
P
Q
(3)画侧棱：过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，
并且在这些平行线上分别截取2cm长的线段
(4)连线成图：顺次连接并加以整理
（去掉辅助线，将被遮挡的部分改成虚线），
就可以得到长方体的直观图.
x
y
z
O
A
B
C
D
M
N
P
Q
A ′
B ′
C ′
D ′
题型三：直观图的还原与计算
例3 如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.
若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=2，A1D1=O′D1=1.
试画出原四边形，并求原图形的面积.
解：如图建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD=O′D1=1；
OC=O′C1=2.在过点D与y轴平行的直线上截取DA=2D1A1=2.
在过点A与x轴平行的直线上截取AB=A1B1=2.
连接BC，便得到了原图形.
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底
长度分别为2和3，直角腰长为AD=2.所以面积为S=×2=5.
1.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的
解：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.
故选C.
2.如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的
解：在x轴上或与x轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y轴上或平行于y轴的
线段在新坐标系中的长度变为原来的 ，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，
因此由直观图还原成原图形为C.
3.已知一平面图形的直观图是底角等于45°，上底和腰均为1的等腰梯形，求原图形的面积.
解：直观图与原图形如图所示．
O′A′长为1＋.
∴OA＝O′A′＝1＋，
又OC＝2·O′C′＝2，
BC＝B′C′＝1，且∠AOC＝90°.
∴S梯形OABC＝×(1＋1＋)×2＝2＋.

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