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第6章 立体几何初步
3.1 空间图形基本
位置关系的认识
我们所在的空间就是一个长方体，观察教室，归纳空间中的直线与直线、
直线与平面、平面与平面之间的关系.
位置关系 图形表示 符号表示
点在直线上 A∈a
点在直线外 B b
A
B
a
b
点与直线的位置关系
点与平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示
点在平面内
点在平面外 B β
α
A
A∈α
β
B
空间中直线与直线的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示
相交 A∩l=B1
不相交 B∩l=Φ
B1
a
b
l
l
空间中直线与平面的位置关系
观察右图，在此长方体中，直线与平面的位置关系有哪一些？
D1
D
A
B
C
A1
B1
C1
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 公共点 公共点 公共点
符合表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
有无数个
只有1个
没有
空间中平面与平面的位置关系
观察右图，在此长方体中，平面与平面的位置关系有哪一些？
D1
D
A
B
C
A1
B1
C1
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 ____________ 有 个公共点(在一条直线上)
符号表示 ______ _________
图形表示
没有公共点
无数
α∥β
α∩β＝l
题型一：直线与平面的位置关系
例1 (1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数多个点都在平面外
C.直线上有无数多个点都在平面内
D.直线上至少有一个点在平面内
解:直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，
所以直线上有无数多个点在平面外.故选B.
(2)下列四个命题中正确命题的个数是
①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α；
④如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.
A.0 B.1 C.2 D.3
解:如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AA′∥ BB′，
AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；
AA′∥平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；
③中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，
这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确；④显然不正确.故选B.
题型二：平面与平面的位置关系
例2 若三个平面两两相交，则它们的交线有(　　)
A．1条 B．1条或2条
C．1条或3条 D．3条
解:以如图所示的长方体为例，平面A′C、平面D′C、平面AC、三个平面交于同一条直线DC；平面A′C、
平面D′C、平面A′C′相交于三条平行直线；平面D′C、平面A′C′ 与平面BC′交于三条共点的直线．
1.平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？说明理由．
解:不正确．如图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条，如a1，a2，…，an，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，an与平面β平行，但此时α与β不平行，α∩β＝l.
2.若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点为(　　)
(A)0个 (B)1个 (C)无限个 (D)0或无限个
D
解:可根据题意作图判断．
图①中两个平面平行，无公共点；
图②中两个平面相交，有无数个公共点.
故选D.
3.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的
A.一条直线不相交 B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交 D.任意一条直线不相交
解:选D.直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.
4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中判断下列位置关系：
(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1的位置关系是________.
(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________.
解:
(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点，所以平行.
(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交.
答案：(1)平行　(2)相交
线线关系
线面关系
面面关系
相交、不相交
线在面内、线面平行、线面相交
平行、相交

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