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第6章 立体几何初步
3.2 刻画空间点线面位置关系的公理
第二课时 异面直线
D1
D
A
B
C
A1
B1
C1
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DC∥AB，AB∥A1B1，DC与A1B1平行吗？
还能举出其它类似的例子吗？
你能得到什么样的结论？
平行线的传递性
基本事实4
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
基本事实4表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都
互相平行，这就给出了判断
空间两条直线平行的依据.
l3
l1
l2
空间中直线与直线的位置关系
D1
D
A
B
C
A1
B1
C1
观察右图，在此长方体中，哪些直线是平行的？哪些直线是相交的？除了平行和相交这两种关系之外，还有没有其它的位置关系？
异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
空间中直线与直线的位置关系
α
b
a
α
β
b
a
异面直线的作法
空间中的等角定理
观察右图，
空间中两角的两边分别对应平行，
这两个角是什么关系？
空间中的等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补.
∠BAC=∠B'A'C'
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
E
∠EAC+∠B'A'C' =180°
异面直线所成的角
如图，a和b为两条异面直线，如何刻画这二者之间的相对位置关系呢？
已知两条异面直线a，b，
经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，
我们把a′与b′所成的不大于90°的角
叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
异面直线所成的角
(1)a′与b′所成的角的大小只由a，b的相互位置来确定，
与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条直线上；
(2)两条异面直线所成的角的范围是0°<θ≤90°；
(3)当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b.
异面直线所成的角
题型一：空间中两直线平行的判定及应用
例1 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点，
G，H分别是BC，CD边上的点，且.
求证：四边形GHFE是梯形.
证明:∵E，F分别是AB，AD边上的中点，
∴EF∥BD，且EF=BD，
∵G，H分别是BC，CD边上的点，且，
∴HG∥BD，且HG=BD，
∴EF∥HG，且EF≠HG，∴四边形GHFE是梯形.
题型二：等角定理的应用
例2 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是CC1，B1C1，C1D1的中点.
求证：∠NMP=∠BA1D.
证明:如图，连接CB1，CD1，
∵CD∥A1B1，∴四边形A1B1CD是平行四边形，
∴A1D∥B1C.
∵M，N分别是CC1，B1C1的中点，
∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.
∵BC∥A1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1.
D1
A
B
C
D
A1
B1
C1
P
M
N
∵M，P分别是CC1，C1D1的中点，
∴MP∥CD1，∴MP∥A1B，
∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，
∴∠NMP=∠BA1D.
D1
A
B
C
D
A1
B1
C1
P
M
N
题型三：空间中直线平行关系的综合应用
例3 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，
E，F，G，H分别是AD1，CD1，BC，AB的中点.
求证：E，F，G，H四点共面.
证明:如图，连接AC.
因为E，F分别是AD1，CD1的中点，所以EF∥AC.
因为G，H分别是BC，AB的中点，所以GH∥AC.
所以EF∥GH.
所以E，F，G，H四点共面.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
G
F
H
例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别在AC，PB上，且AM=MC，BN=BP，作出直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l，直线l与MN是否平行，如果平行请给出证明，如果不平行请说明理由.
解:连接BM并延长，交DA于点E，连接PE，
则PE即为直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l，
因为底面ABCD是平行四边形，所以AE∥BC，
所以△AEM∽△CBM，所以,
因为点M，N分别在AC，PB上，
且AM=MC，BN=BP，所以，则,
所以MN∥PE，即直线l∥MN.
D
N
M
P
A
B
C
E
题型四：异面直线的判断
例5 (1)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为
A.1 B.2 C.3 D.4
解:把平面展开图还原成正方体，观察相对位置的
变化，可知AB与CD，EF与GH，AB与GH是异面
直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行.
故异面直线有且仅有3对.
H
B
D
(F)
E
C
A
(G)
(2)如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号).
解:图①中，直线GH∥MN；
图②中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，因此直线GH与MN异面；
图③中，连接MG，GM∥HN，因此，GH与MN共面；
图④中，G，M，N三点共面，但H 平面GMN，所以GH与MN异面.
故填②④.
题型五：求异面直线所成的角
例6　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角.
解:(1)∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°.
连接FH，
∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
1.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有
A.2对　　　 B.3对　　　 C.6对　　　 D.12对
解:选C.如图所示，在长方体AC1中，与对角线AC1成异面直线的是A1D1，BC，BB1，DD1，A1B1，DC，所以组成6对异面直线.
2.异面直线a，b，有a α，b β，且α∩β=c，则直线c与a，b的关系是
A.c与a，b都相交 B.c与a，b都不相交
C.c至多与a，b中的一条相交 D.c至少与a，b中的一条相交
解:选D.若c与a，b都不相交，
因为c与a在α内，所以a∥c.
又c与b都在β内，所以b∥c，可知a∥b，
与已知条件矛盾.
如图，只有以下三种情况.
3.在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.
解：如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
由AB＝CD知EG＝FG，
从而可知∠GEF为EF与AB所成角，
∠EGF或其补角为AB与CD所成角.
则EG//AB且EG = AB，
GF//CD且GF = CD，
∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
作
证
算
求角的值，常利用解三角形得出
求两异面直线所成的角的三个步骤
平移法作出异面直线所成的角
利用定义证明角就是要求的角

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