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第6章 立体几何初步
3.2 刻画空间点线面位置关系的公理
第一课时 三个基本事实
生活中很多物体给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.数学中的平面具有什么样的性质呢？
平面的基本性质
观察左侧两图，可得什么结论？
基本事实1
过不在一条直线上的三个点，
有且只有一个平面
α
A
B
C
A，B，C三点不共线
存在唯一的平面α使A，B，C∈α
平面的基本性质
温度计中的玻璃管被两个卡子
固定在刻度盘上，
玻璃管就落在了刻度盘上．
观察左图，可得什么结论？
基本事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，
那么这条直线在这个平面内.
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
平面的基本性质
推论1 推论2 推论3
经过一条直线
和这条直线外的一点，
有且只有一个平面.
经过两条平行直线，
有且只有一个平面.
经过两条相交直线，
有且只有一个平面.
l
A
α
a
b
α
b
a
α
P
确定一个平面的方法
平面的基本性质
B
三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面和课桌面所在平面是否只相交于一点B？
可得什么结论？
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
P∈α，P∈β α∩β=l，且P∈l
题型一：图形语言、文字语言、符号语言的相互转换
例1 (1)点P在直线a上，直线a在平面α内可记为
A.P∈a，a α B.P a，a α
C.P a，a∈α D.P∈a，a∈α
解:“∈”表示点在线上以及点在面内，
“ ”表示线在面内，故选A.
例2　用符号表示下列语句，并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
解:用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.
解:用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图.
题型二：点、线共面问题
例2　如图，已知a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ α.
证明 因为PQ∥a，
所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a β，点P∈β.
因为P∈b，b α，
所以P∈α.
又因为a α，P a，所以α与β重合，所以PQ α.
例3 证明：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内.
解:已知：如图所示，l1∩l2=A，l2∩l3=B，l1∩l3=C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明 方法一
因为l1∩l2=A，所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B，所以B∈l2.
又因为l2 α，所以B∈α.
同理可证C∈α.
又因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α.
所以直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法二
因为l1∩l2=A，所以l1、l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B，所以l2、l3确定一个平面β.
因为A∈l2，l2 α，所以A∈α.
因为A∈l2，l2 β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
所以不共线的三个点A、B、C既在平面α内，
又在平面β内.
所以平面α和β重合，
即直线l1，l2，l3在同一平面内.
题型三：证明点共线、线共点问题
例4 如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA
上的点，且直线EH与直线FG交于点O.
求证：B，D，O三点共线.
证明 因为E∈AB，H∈AD，
所以E∈平面ABD，H∈平面ABD.所以EH 平面ABD.
因为EH∩FG=O，所以O∈平面ABD.
同理O∈平面BCD，即O为面ABD与面BCD的公共点，
所以O∈BD，即B，D，O三点共线.
例5　如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，
且AB α，CD β.求证：AB，CD，l共点.
证明　∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB与CD必交于一点，
设AB交CD于M.
则M∈AB，M∈CD，
又∵AB α，CD β，
∴M∈α，M∈β，
又∵α∩β＝l，
∴M∈l，
∴AB，CD，l共点.
1.如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为
A.A a，a α，B∈α B.A∈a，a α，B∈α
C.A a，a∈α，B α D.A∈a，a∈α，B∈α
解:点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a α，B∈α.
故选B.
2.能确定一个平面的条件是
A.空间三个点 B.一个点和一条直线
C.无数个点 D.两条相交直线
解:A项，三个点可能共线，
B项，点可能在直线上，
C项，无数个点也可能在同一条直线上.
故选D.
3.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是____________.
解:因为P∈AB，AB 平面ABC，所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.
平面
确定平面的条件
基本事实1
线在面内
基本事实2
点共线、线共点
基本事实3
确定平面的条件
三个推论

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