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第6章 立体几何初步
6.6.2 柱、锥、台的体积
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱：棱柱的底面面积为S，高为h，
则V=Sh.
棱锥：棱锥的底面面积为S，高为h，
则V=Sh.
棱台：棱台的上、下底面面积分别为S′、S，
高为h，则V=(S+S′+) h.
圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体 体积 说明
圆柱 V圆柱＝Sh S为圆柱的 ，h为圆柱的高
圆锥 S为圆锥的 ，h为圆锥的高
圆台 S′，S分别为圆台的 ，h为圆台的____
底面积
底面积
上、下底面面积
高
上底缩小
思考: 圆柱、圆锥和圆台的体积公式之间有什么关系？
S为底面面积，
h为圆锥的高.
分别为上、下底面
面积，h 为圆台的高.
S为底面面积，
h为圆柱的高.
上底扩大
=0
题型一：圆柱、圆锥、圆台的体积
例1　(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是
解:作圆锥的轴截面，如图所示：
由题设，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.
设圆锥的高为h，底面半径为r，
则h=r，PB=r，S侧=πr·PB=πr2=16π，
所以r=4，高h=4.
所以圆锥的体积V=π×42×4=π.
(2)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台
的体积是_______.
解:设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，
则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π.
∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π.
∴l=2，h=
则V=π(12+22+1×2)×=π.
题型二：棱柱、棱锥、棱台的体积
例2 如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C-A′DD′，
求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.
解:方法一：设AB=a，AD=b，DD′=c，
则长方体ABCD-A′B′C′D′的体积V=abc，
又S△A′DD′=bc且三棱锥C-A′DD′的高为CD=a.
所以V三棱锥C-A′DD′ = S△A′D′D·CD = abc.
则剩余部分的几何体体积V剩= abc - abc = abc.
故V棱锥C-A′DD′∶V剩= abc∶abc=1∶5.
方法二：设底面ADD′A′面积为S，高为h，
则长方体的体积为V=Sh.
而棱锥C-A′DD′的底面面积为S，高为h，
因此棱锥C-A′DD′的体积VC-A′DD′=×Sh=Sh.
剩余部分的体积是Sh-Sh=Sh.
所以棱锥C-A′DD′的体积
与剩余部分的体积之比为1∶5.
题型三：等积法求体积
例3 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.
又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，
∵ S△A1D1E ＝EA1·A1D1＝a2，
解: 由V三棱锥A1-D1EF ＝ V三棱锥F-A1D1E，
∴ V三棱锥A1-D1EF ＝ a3.
题型四：等体积法求点到面的距离
例4 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.
解：在三棱锥A1-ABD中，AA1⊥平面ABD，
AB=AD=AA1=a，A1B=BD=A1D=a，
因为=
所以
所以d=a.所以点A到平面A1BD的距离为a.
题型五：分割法求几何体的体积
例5 如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.
∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB
∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.
解: 如图，连接EB，EC，AC. V四棱锥E－ABCD＝ ×42×3＝16.
＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥E－ABC
＝ ×V四棱锥E－ABCD＝4.
题型六：补体法求几何体的体积
例6 一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为
A.5π B.6π
C.20π D.10π
解: 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，
如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
1.如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2，
动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′-EFQ的体积
A.与点E，F的位置有关
B.与点Q的位置有关
C.与点E，F，Q的位置都有关
D.与点E，F，Q的位置均无关，是定值
解: VA′-EFQ=VQ-A′EF=××EF×AA′×A′D′，
所以其体积为定值，与点E，F，Q的位置均无关.
2.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6 cm，AA1=4 cm，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
解: S四边形EFGH=4×6-4××2×3=12(cm2)，
V=6×6×4-×12×3=132(cm3).
m=ρV=0.9×132=118.8(g).
3.半径为2的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________.
则
解得r=1，h=，
所以它的体积为×π×12× = π.
2πr=2π
h2+r2=4
解: 由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆，如图所示，设圆锥底面半径为r，高为h，
4.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16 π，则圆锥的体积是
解:作圆锥的轴截面，如图所示：
由题设，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.
设圆锥的高为h，底面半径为r，
则h＝r，PB＝r.
由S侧＝π·r·PB＝16π，
得πr2＝16π，所以r＝4.则h＝4.
故圆锥的体积V圆锥＝ πr2h＝ π.

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