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第6章 立体几何初步
6.3 球的表面积与体积
球的表面积和体积
设球的半径为R，则球的表面积S球=4πR2，
球的体积V=πR3.
球的体积公式的推导
圆的面积公式的推导
分割次数越多，每个扇形就越接近于
三角形，扇形的弧可以看作三角形的
底，半径可以看作是三角形的高，
所以每个三角形的面积为
Si=rli(li为扇形的弧长).
故圆的面积为
S=r(l1+l2+…+ln)=rl=r×2πr=πr2.
O
D
C
B
A
将球的表面分成n个小网格，将整个球体分成n个“小锥体”.当n越大，每个小网格越小，每个小锥体的底面就越平，小锥体近似于棱锥，其高近似于球的半径R，
体积为SABCDR.球的体积为n个小锥体体积之和，而这n个小锥体的底面积之和为球的表面积S，故球的体积V=SR=×4πR2×R=πR3.
类比
例1　(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；
解: 设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，
所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.
题型一：球的表面积和体积
解: 设球的半径为R，则πR3＝π，解得R＝5，
所以球的体积V＝πR3＝π·43＝π.
例2 (1) 过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为48π cm2，则球的表面积为____cm2.
解: 易知截面为一圆面，如图所示，圆O是球的过已知半径的大圆，
AB是截面圆的直径，作OC垂直AB于点C，连接OA.
由截面面积为48π cm2，可得AC=4cm.
设OA=R，则OC=，所以R2-()2=(4)2，解得R=8.
故球的表面积S=4πR2=256π(cm2).
题型二：球的截面问题
(2)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为 .
解: 设截面圆的半径为r，则πr2=π，故r=1，
由勾股定理求得球的半径为，
所以球的体积为V= .
题型二：与球有关的切、接问题
例3 (1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，
则该球的体积为 .
解: 球的直径是正方体的棱长，
所以2R=2，R=1.
所以V=πR3=π.
(2)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，
则球O的表面积为________.
解: 球的直径是长方体的体对角线，
所以2R=，
∴球O的表面积为S=4πR2=14π.
(3)有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，
第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.
解: 设正方体的棱长为a，三个球的半径分别为r1，r2，r3，
球的表面积分别为S1，S2，S3.
分别过球心及切点作截面.
如图①所示，有2r1＝a，∴r1＝，∴S1＝πa2.
如图②所示，有2r2＝a，∴r2＝a，∴S2＝2πa2.
如图③所示，有2r3＝a，∴r3＝a，∴S3＝3πa2.
综上可得，S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
解: 设球的半径为R，则4πR2＝πR3，所以R＝3.
解: 设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.
所以球的半径为2，体积V＝ πR3＝π.
3.棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求其外接球的表面积.
解: 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a=x，
由题意2R=x=a， 所以R=a，所以S球=4πR2=a2π.
4.如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为
A.4 cm B.3 cm
C.2 cm D.1 cm
解: 由题意可得，设球的半径为r，
依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，
解得r＝3，故选B.
∴3× πr3＝πr2(6r－6)，

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