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4.1 同角三角函数的基本关系
第四章 三角恒等变换
提示：利用三角函数定义证明.
已知：对于同一个锐角α，存在关系式：sin2α + cos2α = 1，=tan .
思考：当角 α 推广到任意角后，关系式是否仍成立？
探究点 1：同角三角函数的基本关系——平方关系
设点 P(x，y) 是角 α 的终边与单位圆的交点，过点 P 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 B.
在直角三角形 PBO 中，OB 2 + BP 2 = 1，
即 sin2α + cos2α = 1.
O
x
y
P (x，y)
B
A (1，0)
同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 α 的正切.
根据三角函数的定义，当 时，有
同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系
商数关系
平方关系
变形
变形
题型一：利用同角三角函数关系式求值
例1：已知 ，且 α 是第三象限角，求 sin α ，cos α 的值.
又
②
解：
由 ，得
①
由①②得 ，即
又 α 是第三象限角，所以
技巧归纳：已知角 α 的某一种三角函数值，求角 α 的其余三角函数值时，要合理选择公式，一般是先选用平方关系，再用商数关系. 注意“1”的代换，如“1 = sin2α + cos2α”.
题型二： 三角函数式的化简
例2：若 ，化简： .
提示：先化简根式，化切为弦，然后通分，再去掉根号.
解：
化简过程中常用的方法有：
1. 化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的；
2. 对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
练习：求证： .
证明：方法一
方法二：
例3：若 ，且 A 是三角形的一个内角，求 的值.
解：因为 ，所以 A 为锐角或钝角，
当 A 为锐角时， ，所以原式 = 6；
当 A 为钝角时， ，所以原式=
易错警示：疏漏讨论三角函数值的符号而导致错误.
由 说明 A 是锐角或钝角，那么 cosA 就有正、负之分，常见解法中忽视开放的符号而出现疏漏，上面解法就犯了此种错误.
使用开方关系 和 时，一定要注意正负号的选取，确定正负的依据是角 α 所在的象限，如果角 α 所在的象限是已知的，则按三角函数值在各个象限的符号来确定正负号；如果角 α 所在的象限是未知的，则需按象限进行讨论.
题型三：利用 与 的关系解题.
例4：已知 0 < α < π， ，求 tan α 的值.
解：由 得 ，
解得 ， ，所以 .
又 0 < α < π，∴ sin α > 0，cos α < 0，sin α - cos α > 0，
解题技巧：
（1）sin α + cos α，sin α·cos α，sin α - cos α 三个式子中，已知其中一个，可求其他两个，即“知一求二”；关系：(sin α - cos α) = 1 + 2 sin α·cos α；
（2）求 sin α + cos α 或sin α-cos α的值，要注意判断它们的符号.
1.同角三角函数的基本关系：
（1）“同角”的概念与角的表达形式无关；
（2）公式都必须在定义域允许的范围内成立；
2.对于同一个角 α，可以利用基本关系式“知一求二”
（1）先确定角的终边位置，再根据基本关系式求值；
（2）若已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其他关系求值；
（3）若已知正切，则可构造方程组求值.

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