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4.2.1 两角和与差的余弦公式及其应用
第四章 三角恒等变换
1. 会用向量知识推导两角差的余弦公式；
2. 掌握两角和与差的余弦公式；
3. 能熟练运用两角和与差的余弦公式解题 .
探究：已知任意角 α，β 的正弦和余弦，能否由此推出 α + β，α - β 的余弦.
因为余弦函数是偶函数，所以只讨论 α ≥ β 的情况.
α
β
P (cosα，sinα)
(cosβ，sinβ) Q
再向量的坐标表示知，
根据数量积的定义知，
如果 ，
如果 ，
那么由诱导公式知，
所以对任意角 α，β 来说，上述结论仍然成立 .
公式的结构特征：
左边：两角差的余弦；右边：同名三角函数乘积的和；
此公式给出了任意角 α，β 的正弦、余弦与其差角 α - β 的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记为 C（α－β）
思考：两角差的余弦公式：cos( - )= cos cos +sin sin ( C( - ) ) 用 - 代替 看看有什么结果
cos[ -(- )] = cos cos(- )＋sin sin(- )
cos( + )= cos cos - sin sin ( C( + ) )
两角和的余弦公式
两角和与差的余弦公式
( C( - ) )
cos( - )= cos cos +sin sin
cos( ＋ ) = cos cos -sin sin
( C( + ) )
例1：利用差角余弦公式求 cos 15°的值.
解:
解：由 得
由 β 是第三象限角， ，得
所以
例2：已知 ， ，β 是第三象限角，求 cos (α - β) 的值.
解：（1）
练习1：利用差角余弦公式证明：
（2）
练习2：已知 ，求 的值.
解：由 得
1. 两个公式：两角差的余弦公式
2. 两种思想：转化化归思想； 数形结合思想.
cos( - )= cos cos + sin sin ； cos( + ) = cos cos - sin sin

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