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8.5.2完全平方公式
第八章 整式的乘法
冀教版（2024）
素养目标
1.能利用多项式乘多项式的运算法则推导完全平方公式；
2.掌握完全平方公式，能正确运用公式进行简单计算和推理；
重点
难点
3.了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观，培养数形结合思想.
重点
知识回顾
计算：
(1)(a+3b)(a-3b)； (2) (3+2a)(-3+2a)；
(a+b) (a-b) = a2-b2.
两个数的和
两个数的差
平方差
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
= a2-9b2 ;
解：(1)原式= a2-(3b)2
=4a2-9.
(2)原式=(2a+3)(2a-3)
=(2a)2-32
新知导入
你能利用多项式与多项式相乘，计算出(a+b)2 吗？
(a+b)2 = (a+b)(a+b)
= a2+2ab+b2.
= a2 + ab + ab + b2
=a(a+b)+b(a+b)
两个数的和的平方
两个数的平方和，加上这两个数的积的2倍
探究新知
(a-b)2 = (a-b)(a-b)
= a2-2ab+b2.
= a2 - ab - ab + b2
=a(a-b)-b(a-b)
两个数的差的平方
两个数的平方和，减去这两个数的积的2倍
请你仿照上面的方法，计算出(a-b)2 的结果？
探究新知
(a+b)2= ；
a2+2ab+b2
(a-b)2= .
a2-2ab+b2
比较这两个式子的计算结果，在结构上各有什么特点？
结构上分别是两数的平方和与这两个数的积的2倍的和或差.
归纳总结
完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍.
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
和的平方
平方
积的二倍
平方
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
差的平方
平方
积的二倍
平方
探究新知
b
a
a
b
a2
ab
ab
b2
如图，将边长为a+b的正方形分割成四部分，请用不同的方法分别表示出这个正方形的面积.
【方法1】把它看成一个大正方形，则它的边长为 ，它的面积可表示为： .
(a b)
(a+b)2
探究新知
b
a
a
b
a2
ab
ab
b2
如图，将边长为a+b的正方形分割成四部分，请用不同的方法分别表示出这个正方形的面积.
【方法2】它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和： .
a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2
探究新知
b
a
a
b
a2
ab
ab
b2
如图，将边长为a+b的正方形分割成四部分，请用不同的方法分别表示出这个正方形的面积.
结合图形，对完全平方公式(a+b)2 = a2+2ab+b2进行几何解释？
大正方形的面积(a+b)2与两个小正方形和两个小长方形面积的和a2+2ab+b2相等，所以(a+b)2 = a2+2ab+b2
做一做
算式 与完全平方公式中a对应的项 与完全平方公式中b对应的项 计算结果
(2x+3)2
(m+2n)2
(2b-c)2
(3m-2)2
2x
3
4x2+12x+9
m
2n
m2+4mn+4n2
2b
c
4b2-4bc+c2
3m
2
9m2-12m+4
探究新知
思考：
(a+b)2 与 ( a b)2 相等吗？
(a b)2 与 (b a)2 相等吗？
(a b)2 与 a2 b2 相等吗？
( a b)2=[ (a+b)]2=(a+b)2
相等
相等
(a b)2 (a2 b2)=2b2 2ab
不一定相等
若2b2 2ab=0，则(a b)2=a2 b2
(b a)2=[ (a b)]2=(a b)2
练一练
计算：
解：
(a+b)2=a2+2ab+b2
a2
+2ab
b2
练一练
计算：
(a-b)2=a2-2ab+b2
-2ab
b2
a2
练一练
计算：
方法一：
方法二：
探究新知
在计算15×15，25×25，…，95 × 95时，小明是这样做的:
15 × 15 = 1 × 2 × 100 + 25 = 225，
25 × 25 = 2 × 3 × 100 + 25 = 625
35 × 35 = 3 × 4 × 100 + 25 = 1225；
……
你认为小明的做法正确吗？为什么？
正确
理由：记个位数字是5的两位数为 10a+5(其中1 ≤ a＜10，a为整数)，则(10a+5)2 =100a2 +100a+25=100a(a+1)+25.
7或-1
6
25
12
49
4或-4
16或-16
B
小结
完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍.
谢谢同学们的聆听

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