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第十八章平行四边形期中章节复习（二）人教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．观察图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是（　　）
A．只有③ B．只有② C．①② D．①②③
2．下列关于平行四边形的说法中错误的是（　　）
A．平行四边形的对角相等，邻角互补
B．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．已知 ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD．使得 ABCD是矩形的条件是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
5．如图，D是△ABC内部一点，AC⊥BD，且，依次取AB，BC，CD，AD的中点，并顺次连接得到四边形MNPQ，则四边形MNPQ的面积是（　　）
A．6 B．12 C．24 D．48
6．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，则OE的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD中点，OE＝4，则菱形ABCD的周长为 　 　．
8．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：
（1）△DOF≌△COE；
（2）CF＝BE；
（3）四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；
（4）OF2+OE2＝EF2．其中正确的是 　 　．
9．如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 　 　cm．
10．如图，点P是等边三角形ABC内的一点，，PB＝3，，则S△ABP+S△BPC＝　 　 ．
11．如图，四边形ABCD 为平行四边形，且DB平分∠ABC，作DE⊥BC，垂足为E．若BD＝24，AC＝10，则DE＝　 　 ．
12．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝5，则GH的最小值是 　 　 ．
三、解答题
13．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝6，求EG的长．
15．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．
（1）若AB＝6，BC＝10，则BF＝　 　；
（2）在（1）的条件下，求EC的长．
16．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、CD、BC上，且EF⊥AG，垂足为M，那么AG与EF　 　（“相等”或“不相等”）
（2）如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠，使得点A落到边BC上．若BG＝2cm，求出BE和EF的长度．
17．如图1，在 ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接AF，CE．
（1）求证：AF∥CE；
（2）如图2，连接AC，且AC＝BC，O为AC的中点．
①BC的中点为M，连接EO，EM，试判断四边形EMCO的形状，并说明理由；
②如图3，AG平分∠BAC交CE于点G，连接GO，若∠AGO＝90°，AB＝8，求AC的长．
18．如图1，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，EF与HC交于点O．
（1）求证：四边形CFHE是菱形；
（2）如图2，AB＝4，BC＝8，点H与点A重合时，求OF的长．
19．如图1，在菱形ABCD中，E是边BC上的点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°）．
（1）如图2，当α＝90°时，连接BD交AF于点P，
①直接写出∠DCF的度数；
②求证：．
（2）如图1，当∠DCF＝135°时，若，求的值．
20．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系xOy内，边OA、OC分别在x轴、y轴上，B点坐标是（a，b）且a、b满足（a+b﹣10）2＝0，点P是线段B上的动点，将△OCP沿OP翻折得到△OC′P．
（1）求点A和C的坐标；
（2）如图①，当点C′落在线段AP上时，求点P的坐标；
（3）如图②，当点P为线段BC中点时，求线段BC′的长度．
参考答案
一、选择题
1-6：ABDDBA
二、填空题
7．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∴△AOD为直角三角形．
∵OE＝4，且点E为线段AD的中点，
∴AD＝2OE＝8．
∴C菱形ABCD＝4AD＝4×8＝32．
故答案为：32．
8．【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE+∠EOF＝∠COF+∠DOF＝90°，
∴∠COE＝∠DOF，
在△COE和△DOF中，
，
∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
②∵△COE≌△DOF，
∴CE＝DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴BE＝CF，故②正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 ，故③正确；
④在Rt△ECF中，∠EOF＝90°，根据勾股定理，得：OE2+OF2＝EF2，故④正确；
综上所述，正确的是①②③④，
故答案为：①②③④．
9．【解答】解：答案为：．
10．【解答】解：将△APC绕点A旋转60°得到△AEB，过点B作BF⊥AP于点F，
∴AE＝AP，BE＝PC＝3，∠PAE＝60°，
∴△AEP是等边三角形，
∴EP＝AP，∠APE＝60°，
∵BE2＝12，PB2+PE2＝9+3＝12，
∴BE2＝PE2+PB2，
∴∠BPE＝90°，
∴∠APB＝150°，
∴∠BPF＝30°，
∴BFPB，
∵BE＝2PE，∠BPE＝90°，
∴∠EBP＝30°，
∴∠BEP＝90°﹣30°＝60°，
∵∠AEP＝60°，
∴∠APC＝∠AEB＝120°，
∴∠BPC＝360°﹣150°﹣120°＝90°，
∴S△APB+S△PBC3×2．
故答案为：．
11．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DB平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴OBBD＝4，OCAC＝5，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴BC13，
∵DE⊥BC，
∴菱形ABCD的面积＝BC DEAC BD，
即13DE10×24，
解得：DE，
故答案为：．
12．【解答】解：连接AC、AP、CP，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，
∴AC10，
∵P是线段EF的中点，
∴APEF＝2.5，
∵PG⊥BC，PH⊥CD，
∴∠PGC＝∠PHC＝90°，
∴四边形PGCH是矩形，
∴GH＝CP，
当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣2.5＝7.5，
∴GH的最小值是7.5，
故答案为：7.5．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠E＝∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF＝DF，
∵∠EFA＝∠CFD，
∴△AFE≌△DFC（AAS），
∴CD＝AE，
∴AB＝AE；
（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD，
∵BC＝2AE，
∴AE＝AF，
∵∠E＝31°，
∴∠AFE＝∠E＝31°，
∴∠DAB＝2∠E＝62°．
14．【解答】（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠FEC＝∠ADC，
又∵CE＝CD，∠FCE＝∠ACD，
∴△FCE≌△ACD（ASA），
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（2）解：如图，
由（1）可知，四边形ADFE是平行四边形，
∴DF＝AE＝6，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD＝2，
∴CE＝CD＝2，
∴DE＝2CD＝4，
∵EF∥AD，
∴EF⊥BC，
∴∠DEF＝90°，
∴EF2，
∵EG⊥DF，
∴S△DEFDF EG EF，
∴EG，
即EG的长为．
15．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴AD＝BC＝10，CD＝AB＝6，
∵长方形纸片沿AE折叠，点D落在BC边的点F处，
∴AF＝AD＝10，EF＝DE，
在Rt△ABF中，；
（2）由（1）知BF＝8，
∴FC＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
设DE＝x，则EC＝CD﹣DE＝6﹣x，
在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，
即（6﹣x）2+22＝x2，
解得，
∴．
16．【解答】解：（1）如图（1）所示，过点E作EH∥AD，交CD于H；则四边形AEHD为矩形；
∴EH＝AD＝AB；
∵AG⊥EF，EH∥AD，
∴∠BAG+∠AEF＝90°，∠AEF+∠FEH＝90°，
∴∠BAG＝∠FEH；在△ABG与△EHF中，
∵，∴△ABG≌△EHF（ASA）
∴AG＝EF．
故答案为相等；
（2）如图（2），连接AG；
设BE＝x，则AE＝8﹣x；由对称原理得：EG＝EA＝8﹣x，∠AEF＝∠GEF，
∴EF⊥AG；由问题（1）知：EF＝AG；
∵四边形ABCD为正方形，∴∠EBG＝90°；
由勾股定理得：AG2＝82+22，AG＝；
（8﹣x）2＝x2+22，解得x＝，
∴BE＝（cm），EF＝（cm）．
17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF∥CE；
（2）解：①四边形EMCO为菱形．理由：
∵O为AC的中点，E为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥BC，OE＝BC．
∵E为AB的中点，BC的中点为M，
∴EM∥AC，EM＝AC，
∴四边形EMCO为平行四边形．
∵AC＝BC，
∴EO＝EM，
∴四边形EMCO为菱形．
②过点O作OH⊥EC于点H，过点G作GM⊥AC于点M，如图，
∵AC＝BC，E为AB的中点，
∴CE⊥AB，AE＝AB＝4．
∵AG平分∠BAC交CE于点G，
∴∠GAE＝∠GAC，
∵GM⊥AC，GE⊥AB，
∴GE＝GM．
在Rt△AEG和Rt△AMG中，
，
∴Rt△AEG≌Rt△AMG（HL），
∴AE＝AM＝4．
∵CE⊥AE，OH⊥EC，
∴OH∥AE，
∵O为AC的中点，
∴OH＝AE＝2．
∵∠AGO＝90°，
∴∠AGE+∠OGC＝90°，∠AGM+∠OGM＝90°，
∵Rt△AEG≌Rt△AMG，
∴∠AGE＝∠AGM，
∴∠OGM＝∠OGH，
∵OM⊥GM，OH⊥GH，
∴OM＝OH＝2，
∴OA＝AM+OM＝6，
∵O为AC的中点，
∴AC＝2OA＝12．
18．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，
即HE∥CF，
∴∠HEF＝∠EFC，
由翻折可知：∠EFC＝∠HFE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴HE＝HF，
∵FC＝FH，
∴HE＝CF，
∵EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CF＝FH，
∴四边形CFHE是菱形；
（2）解：点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝BC﹣BF＝8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴CE＝AF＝8﹣x＝5，
∵CD＝AB＝4，
∴DE＝＝＝3，
如图，过点F作FM⊥AD于M，得矩形ABFM，矩形CDMF，
∴AM＝BF，DM＝CF，MF＝AB＝4，
∴ME＝8﹣3﹣3＝2，
由勾股定理得，EF＝＝＝2，
∴OF＝EF＝．
19．【解答】解：（1）①∠DCF的度数是45°，
理由：如图2，作FN⊥CD于点N，FM⊥BC交BC的延长线于点M，则∠M＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，∠AEF＝∠ABC＝α＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠M，∠BAE＝∠MEF＝90°﹣∠AEB，∠MCN＝90°，
在△ABE和△EMF中，
，
∴△ABE≌△EMF（AAS），
∴AB＝EM＝BC，BE＝MF，
∵BE＝BC﹣CE＝EM﹣CE＝CM，
∴CM＝MF，
∴∠MCF＝∠MFC＝45°，
∴∠DCF＝90°﹣∠MCF＝45°，
∴∠DCF的度数是45°．
②证明：如图2，连接AC交BD于点Q，连接CP，则AQ＝CQ，DQ＝BQ，
∵BD垂直平分AC，
∴AP＝CP，
∴∠PCA＝∠PAC，
∵AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠DCA＝∠DAC＝45°，
∴∠ACF＝∠DCA+∠DCF＝90°，
∴∠PCF＝90°﹣∠PCA＝90°﹣∠PAC＝∠PFC，
∴FP＝CP，
∴AP＝FP，
∴CF＝2QP，
∴CF+2DP＝2QP+2DP＝2DQ＝BD，
∵BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴BDBC，
∴CF+2DPBC．
（2）如图1，作FL⊥BC交BC的延长线于点L，在CL上取一点H，使CH＝BE，连接FH，
∵四边形ABCD是菱形，∠AEF＝∠ABC＝α，
∴AB＝BC＝BE+CE＝CH+CE＝EH，∠BAE＝∠HEF＝180°﹣α﹣∠AEB，
在△ABE和△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（SAS），
∴BE＝HF，∠B＝∠EHF，
∴CH＝HF，
∴∠HCF＝∠HFC，
∴∠FHL＝∠HCF+∠HFC＝2∠HCF，
∵AB∥CD，∠DCF＝135°，
∴∠B＝∠DCH，
∴∠EHF＝∠DCH＝135°+∠HCF，
∴135°+∠HCF+2∠HCF＝180°，
∴∠HCF＝15°，
∴∠FHL＝30°，
设FL＝m，
∵∠L＝90°，
∴CH＝HF＝2FL＝2m，
∴HLm，
∴CF2＝（2mm）2+m2＝（8+4）m2，
∵，
∴ECCH2m＝3m，
∴CD＝BC＝EH＝3m+2m＝5m，
∴CD2＝（5m）2＝25m2，
∴，
∴的值为．
20．解：（1）∵（a+b﹣10）2＝0，
∴．
解得：，
∴B（6，4），
又∵四边形OABC为矩形，
∴A（6，0），C（0，4）；
（2）由（1）可知：AO＝BC＝6，CO＝BA＝4，
∵AO∥BC，
∴∠CPO＝∠AOP，
由折叠易知：∠CPO＝∠C'PO，
∴∠AOP＝∠C'PO，
∴AO＝AP＝6，
在Rt△ABP中，PB．
∴CP＝BC﹣PB＝6﹣2，
∴点P坐标为：（6﹣2，4）；
（3）连接CC'，交PO于点D，如图所示：
在Rt△PCO中，OC＝4，PC3，
∴OP，
由折叠易知：OP垂直平分线段CC'，即D为CC'的中点，
∴S△PCO，
∴CD，
在Rt△PDC中，PD，
又∵D为CC'的中点，P为BC中点，
∴PD为△CC'B的中位线，
∴BC'＝2PD＝2．
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