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(共47张PPT)
专题三　基于图形变换的视角添加
几何辅助线
在证明几何题时，有时添加辅助线是关键.当我们看到证完的几何题所添加的辅助线时，会觉得很奇妙，会问那巧妙的辅助线是怎么想出来的呢？图形变换(平移、旋转和轴对称)的思想有时可能会给我们指明方向.因为图形变换的最重要的性质是：虽然变换前后图形的位置发生了改变，但是图形全等(图形大小、形状不变)，这样通过图形变换，有时分散的条件就集中了，有时集中的条件就分散了，不管是集中了还是分散了，总的来说是条件明朗了、好用了.
典例精析
例　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内部一点，且∠PAC＝30°，当AP＝AC时，求证：PB＝PC.
【答案】解法1：如图1，过点A作AD∥PB，过点B作BD∥PA，连接CD.
∵AD∥PB，AP∥BD，
∴四边形ADBP是平行四边形，
∴AD＝PB，AP＝BD，∠ABD＝∠PAB＝45°－30°＝15°，
易得∠CBD＝60°，BC＝BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴CD＝BC＝AC＝AP，∠DCB＝60°，
∴∠ACD＝∠CAP＝30°，
∴△ACP≌△CAD(SAS)，∴PC＝AD.
又∵PB＝AD，∴PB＝PC.
图1
解法2：如图2，过点A作AD∥BC，过点B作BD∥AC，连接PD.
易得四边形ADBC为正方形，
∴AC＝BD＝AD，∠CAD＝∠ADB＝90°，
∴∠PAD＝60°.
又∵AP＝AC＝AD，∴△PAD是等边三角形，
∴PA＝PD，∠ADP＝60°，∴∠PDB＝30°，
∴△BDP≌△CAP，∴PB＝PC.
图2
解法3：如图3，将△APB沿AB翻折至△ADB，连接CD，PD.
易得AD＝AP＝AC，∠DAP＝∠PAC＝30°，
∴△CAD是等边三角形，
∴∠ACD＝∠ADC＝60°，CD＝AC＝BC，∠DCB＝30°，
易证△APC≌△APD≌△CBD，
∴PC＝PD＝BD，∠ADP＝∠CDB，
∴∠PDB＝∠ADC＝60°，
∴△PBD是等边三角形，
∴PB＝BD＝PC.
图3
解法4：如图4，将△ACP沿AC翻折至△ACD，连接PD交AC于点E.
由翻折得∠PAC＝∠DAC＝30°，AD＝AP，CD＝PC，
∴△APD是等边三角形，AC垂直平分PD，
∴BC＝AC＝AP＝PD，∠DEC＝∠ACB＝90°，
∴PD∥BC，∴四边形PBCD是平行四边形，
∴PB＝CD＝PC.
图4
解法5：如图5，过点A作AE⊥CP于点E，以点C为圆心，PC长为半径画弧交AE于点D，连接DP.
易得CD＝DP，△CDP是等边三角形，∠CAD＝∠PAD＝∠ACD＝∠PCB＝15°，
∴AD＝CD＝PC.
又∵AC＝BC，
∴△ACD≌△BCP，
∴PB＝AD，∴PB＝PC.
图5
解法6：如图6，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E.
易证四边形PECF是矩形，则CD＝PE.设PE＝a.
∵∠PEA＝90°，∠CAP＝30°，∴AP＝2PE＝2a，
∴BC＝AC＝AP＝2a，∴BD＝BC－CD＝2a－a＝a，
∴CD＝BD，
∴PD垂直平分BC，
∴PB＝PC.
图6
解法7：如图7，将AB绕点A逆时针旋转60°，得到AD，连接BD，CD.
易得△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠PAB＝15°，
又∵AC＝AP，AD＝AB，∴△ACD≌△APB(SAS)，
∴∠ADC＝∠ABP.
∵AD＝BD，AC＝BC，∴△ACD≌△BCD(SSS)，
∴∠ADC＝∠BDC＝30°，
∴∠ABP＝∠ADC＝30°，易得∠PBC＝15°.
∵∠PAC＝30°，AP＝AC，∴∠ACP＝75°，
∴∠PCB＝15°，∴∠PBC＝∠PCB，∴PB＝PC.
图7
解法8：如图8，将PC绕点C顺时针旋转60°，得到CD，连接AD，PD.易得∠ACD＝∠BCP＝15°.
∵CD＝CP，AC＝BC，
∴△ACD≌△BCP(SAS)，∴BP＝AD.
易证△ACD≌△APD，
∴∠CAD＝∠PAD＝15°，
∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.
又∵AD＝PB，CD＝PC，∴PB＝PC.
　图8
观察图形，可以发现线段PC，PB在同一个三角形中，由题可知∠PCB=∠PAB=15°，在不添加辅助线的前提下，无法证明∠PBC=15°，若换一种思路，将线段PB，PC放到两个三角形中，也无法证明所在的三角形全等，图中更没有垂直平分线、角平分线等特殊图形，似乎常用的方法无法实现.由于图形中的条件比较集中，因此可以尝试从图形变换的角度添加辅助线使集中的条件分散化，搭建已知和未知之间的桥梁，这就是解题的突破口.
解法探究
类型1：运用平移变换
解法1：将PB平移到AD处构造平行四边形，从而将PB，PC置于两个全等的三角形中.
解法2：将BC平移到AD处构造正方形，同样通过全等证明线段相等.
方法总结
在图中可以通过线段的平移来构造平行四边形或正方形.
类型2：运用翻折变换
解法3：观察到图中含15°角，翻折后将会出现30°的特殊角，从而构造全等三角形和等边三角形来求证.
解法4：观察到图中含30°角，翻折后将会出现60°的特殊角，从而构造了全等三角形和等边三角形来求证.
解法5：观察到要证PB＝PC这一结论，于是构造角平分线，充分运用其轴对称性质解题.
解法6：观察题干中AP＝AC这一条件，于是构造高线，充分运用其轴对称性质解题.
方法总结
当条件或问题中出现或构造二倍角、等腰三角形、角平分线、线段的垂直平分线等条件，可以考虑运用翻折变换，运用其轴对称性质解决问题.
类型3：运用旋转变换
解法7：将AB绕点A逆时针旋转60°，构造等边三角形，利用“等角对等边”解决问题.
解法8：将PC绕点C顺时针旋转60°，构造等角，再通过全等三角形的相关知识解决问题.
方法总结
当题目中含有等边三角形、等腰三角形等图形，或需要构造等腰三角形、等边三角形等图形时，可以考虑通过图形的旋转变换来解决.
A.AC＋AB＝2BD B.AC＋BD＝AB
C.AB2＝AC2＋BD2 D.AB2＋AC2＝2BD2
类型1　运用平移变换
1.(2024·芜湖三模)如图，AB与CD相交于点O，AB＝CD，∠AOC＝60°，∠ACD＋∠ABD＝210°，则线段AB，AC，BD之间的数量关系是( )
针对训练
C
【解析】过点A作AE∥CD，截取AE＝CD，连接BE，DE，如图所示，则四边形ACDE是平行四边形，∴DE＝AC，∠ACD＝∠AED.∵∠AOC＝60°，AB＝CD＝AE，∴∠EAB＝60°，∴△ABE为等边三角形，∴BE＝AB.∵∠ACD＋∠ABD＝210°，∴∠AED＋∠ABD＝210°，∴∠BDE＝360°－(∠AED＋∠ABD)－∠EAB＝360°－210°－60°＝90°，
∴BE2＝DE2＋BD2，
∴AB2＝AC2＋BD2.
2.【模型建构】
如图1，已知线段AB，CD所在直线交于点O，其所夹锐角为α.小明在学移之后，将图1中的线段AB，CD其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到以点A，B，C，D其中三个点为顶点(另一个顶点E在平面内)的多个平行四边形.例如：图2是将线段AB沿A→D方向平移线段AD的长度得到 ADEB，图3是将线段CD沿C→A方向平移线段CA的长度得到 ACDE.
图1　　　　　 图2　　　　　 图3
【模型应用】
(1)小明受到上述【模型建构】的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题：
如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在CA，AB的延长线上，且AD＝BE，∠AED＝15°，求证：DE＝BC.
图4
解法1：过点E作EF∥BC，且EF＝BC，连接CF，DF.将证明DE＝BC转化为证明DE＝EF；
解：如图1，过点E作EF∥BC，且EF＝BC，连接CF，DF.
易得四边形BCFE是平行四边形，∴CF＝BE＝AD，BE∥CF，∴∠DCF＝180°－∠BAC＝90°.
∵AB＝AC，AD＝BE，∴AB＋BE＝AC＋AD，即AE＝CD.
∵∠DAE＝∠FCD＝90°，∴△DAE≌△FCD(SAS)，∴DE＝DF.
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.
∵EF∥BC，∴∠BEF＝∠ABC＝45°，
∴∠DEF＝∠AED＋∠BEF＝60°，
∴△DEF是等边三角形，∴DE＝EF＝BC.
图1
解法2：过点C作CF∥DE，且CF＝DE，连接BF，EF.将证明DE＝BC转化为证明BC＝CF.
请你依照小明的解题思路，任选一种解法，写出证明过程.
解：如图2，过点C作CF∥DE，且CF＝DE，连接BF，EF.
易得四边形CDEF是平行四边形，∴CD＝EF，CD∥EF，∴∠BEF＝180°－∠BAC＝90°.
∵AB＝AC，AD＝BE，∴AB＋BE＝AC＋AD，即AE＝CD，
∴AE＝EF.
∵∠BEF＝∠DAE＝90°，∴△DAE≌△BEF(SAS)，
∴DE＝BF，∠BFE＝∠AED＝15°，
∴BF＝CF，∠ABF＝∠BEF＋∠BFE＝105°，∴∠CBF＝∠ABF－∠ABC＝60°，
∴△BCF是等边三角形，∴DE＝CF＝BC.(任选其中一种解法解答即可)
图2
(2)小明又尝试将(1)中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法解答下面问题：
如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AC上一点，D为CB延长线上一点，且AE＝BC，AC＝BD，连接DE交AB于点G，求∠AGE的度数.
图5
解：解法1：如图3，过点D作DH∥AB，且DH＝AB，连接AH，EH，EH交AB于点F.
易得四边形ABDH是平行四边形，∴AH＝BD，AH∥BD，
∴∠EAH＝180°－∠C＝90°，∴∠CAB＋∠FAH＝90°.
∵AC＝BD，∴AC＝AH.
∵AE＝BC，∠EAH＝∠C＝90°，
∴△AEH≌△CBA(SAS)，∴AB＝EH，∠AHE＝∠CAB，
∴EH＝DH，∠AHE＋∠FAH＝90°，∴∠AFH＝90°，
∴∠EHD＝∠AFH＝90°，∴∠HDE＝45°，∴∠AGE＝∠HDE＝45°.
图3
解法2：如图4，过点A作AH∥ED，且AH＝ED，连接BH，DH.
易得四边形AEDH是平行四边形，∴AE＝DH，AE∥DH，
∴∠BDH＝180°－∠C＝90°，∴∠HBD＋∠BHD＝90°.
∵AE＝BC，∴BC＝DH.∵AC＝BD，∠BDH＝∠C＝90°，
∴△ABC≌△BHD(SAS)，∴AB＝BH，∠ABC＝∠BHD，
∴∠ABC＋∠HBD＝90°，
∴∠ABH＝90°，
∴∠BAH＝45°，
∴∠AGE＝∠BAH＝45°.
图4
【学以致用】
(3)如图6，在△ABC中，∠C＝45°，D，E分别是边BC，AC上的点，且AD⊥BE于点H.若AE＝3，BD＝5，AD＝3，求BE的长.
图6
图5
解：如图5，过点B作BF∥AD，且BF＝AD，连接AF，EF，过点E作EM⊥AF于点M.
易得四边形ADBF是平行四边形，∴AF＝BD＝5，AF∥BD，
∴∠MAE＝∠C＝45°，∴ME＝AM＝AE＝3.
在Rt△EFM中，EF＝.
∵AD⊥BE，∴∠FBE＝∠AHE＝90°.
在Rt△EBF中，BE＝＝2.
类型2　运用翻折变换
3.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为BC的中点，E，F分别在边AB，AC上，且DE⊥DF.若BE＝2，CF＝5，则EF的长为 　.
【解析】如图，将△EFD沿DF翻折得△GFD，连接CG.易得△BED≌△CGD(SAS)，∴CG＝BE＝2，∠B＝∠DCG，∴AB∥CG，∴∠FCG＝180°－∠A＝90°.在Rt△FCG中，FG＝.由翻折可知EF＝FG＝.
4.【问题情境】如图1，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，BD＝6，DC＝4，求AD的长.
【问题解决】小明同学是这样分析的：将△ABD沿着AB翻折得到△ABE，将△ACD沿着AC翻折得到△ACF，延长EB，FC相交于点G.请按着小明的思路解答下列问题：
(1)求证：四边形AEGF是正方形；
图1
解：由翻折得AE＝AD＝AF，BD＝BE＝6，DC＝CF＝4，∠BAD＝∠BAE，∠CAD＝∠CAF，∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°.
∵∠BAC＝45°，∴∠EAF＝2(∠BAD＋∠CAD)＝2∠BAC＝90°，∴四边形AEGF是矩形.
又∵AE＝AF，∴四边形AEGF是正方形.
(2)求AD的长.
解：设AD＝AE＝AF＝x.
∵四边形AEGF是正方形，∴EG＝GF＝x，∠G＝90°，∴BG＝x－6，CG＝x－4.
在Rt△GBC中，BC2＝BG2＋CG2，
∴(4＋6)2＝(x－6)2＋(x－4)2，解得x＝12(负值舍去)，∴AD的长为12.
【方法提炼】通过问题解决，小明发现翻折是解决问题的有效办法之一，它可以将问题中的相关信息有效地集中、关联与重组.请根据自己的理解，解答下列问题：
(3)如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，BC＝6，CD＝8，求AC的最大值.
图2
解：如图1，将△ABC沿着AB翻折得到△ABE，将△ACD沿着AD翻折得到△ADF，连接EF.
由翻折得AE＝AC＝AF，∠BAC＝∠BAE，∠CAD＝∠DAF，BE＝BC＝6，CD＝DF＝8.
∵∠BAD＝45°，∴∠EAF＝90°，
∴EF＝AE＝AC.
∵∠BCD＝90°，BC＝6，CD＝8，
∴BD＝＝10，
当BE，BD，DF三条线段共线时，EF有最大值24，
∴AC的最大值为12.
图1
(4)如图3，在四边形ABCD中，BC＝6，AD＝2，M是AB上一点，且∠DMC＝135°，AM＝3，BM＝4，则CD的最大值为　　.(直接写出结果)
图3
13
解：提示：如图2，将△ADM沿着DM翻折得到△EDM，将△BCM沿着CM翻折得到△FCM，连接EF.∴AD＝DE＝2，BC＝CF＝6，AM＝EM＝3，FM＝BM＝4，∠AMD＝∠EMD，∠BMC＝∠FMC.∵∠DMC＝135°，∴∠AMD＋∠CMB＝45°，∴∠EMF＝∠DMC－(∠EMD＋∠FMC)＝90°，∴EF＝＝5，当DE，EF，FC三条线段共线时，CD有最大值为13.
图2
A.2＋3 B.6＋2
C.5 D.8
类型3　运用旋转变换
5.(2024·四川宜宾)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为( )
D
【解析】如图，将BA绕点B顺时针旋转90°得到BE，连接AE，DE，∴BE＝AB，∠ABE＝90°，∴AE＝AB＝6.∵∠DBC＝90°＝∠EBA，∴∠DBE＝∠CBA.又∵BD＝BC，AB＝BE，∴△DBE≌△CBA(SAS)，∴DE＝AC＝2.在△ADE中，AD＜AE＋DE，
∴当A，D，E三点共线时，
AD有最大值，最大值为6＋2＝8.
6.(2024·四川乐山节选)在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，且∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，求DE的长.
图1
解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD'，连接ED'.
由旋转的特征得∠BAD＝∠CAD'，∠B＝∠ACD'，AD＝AD'，BD＝CD'.
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠EAC＝45°.
∵∠BAD＝∠CAD'，∴∠CAD'＋∠EAC＝45°，即∠D'AE＝45°，
∴∠DAE＝∠D'AE.
在△DAE和△D'AE中，
AD＝AD'，∠DAE＝∠D'AE，AE＝AE，∴　①　，
∴DE＝D'E.　　　　　　　　
又∵∠ECD'＝∠ECA＋∠ACD'＝∠ECA＋∠B＝90°，
∴在Rt△ECD'中，　②　.
∵CD'＝BD＝3，CE＝4，∴DE＝D'E＝　③　.
图2
【问题解决】
上述【问题情境】中，“①”处应填：　 　；“②”处应填：　 　；“③”处应填：　　.
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变.
△DAE≌△D'AE
CE2＋CD'2＝D'E2
5
【知识迁移】
如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连接AE，AF，分别与对角线BD交于M，N两点.探究BM，MN，DN之间的数量关系并证明.
图3
解：DN2＋BM2＝MN2，理由如下：
如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADE'，过点D作DH⊥BD交边AE'于点H，连接NH.
由旋转得AE＝AE'，BE＝DE'，∠BAE＝∠DAE'.
由题意得EF＋EC＋FC＝DC＋BC＝DF＋FC＋EC＋BE，
∴EF＝DF＋BE＝DF＋DE'＝E'F，
∴△AEF≌△AE'F(SSS)，∴∠EAF＝∠E'AF.
又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠ADB＝45°.
∵DH⊥BD，∴∠ADH＝∠HDB－∠ADB＝45°，
∴△ABM≌△ADH(ASA)，∴AM＝AH，BM＝DH，
∴△AMN≌△AHN(SAS)，∴MN＝HN.
在Rt△HND中，DN2＋DH2＝HN2，∴DN2＋BM2＝MN2.
图1
【拓展应用】
如图4，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°.探究BE，EF，DF之间的数量关系：　 　.(直接写出结论，不必证明)
图4
EF2＝2BE2＋2DF2
提示：如图2，直线EF交AB的延长线于点M，交AD的延长线于点N，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°得到△AGH，连接HM，HE，过点H作HO⊥BC交CB延长线于点O.由旋转得DF＝GH，AD＝AG，AF＝AH.∵∠CEF＝∠BEM＝∠N＝45°，∴△BEM，△DNF，△AMN是等腰直角三角形，∴BE＝BM，∴DN＝DF，AM＝AN，∴DN＝GM.易证△AEH≌△AEF，∴EH＝EF.易证四边形HGBO为矩形，∴GH＝OB，OH＝BG.在Rt△EOH中，由勾股定理，得OE2＋OH2＝EH2，即(GH＋BE)2＋(BM－GM)2＝EH2.
又∵EF＝EH，DF＝GH＝GM，BE＝BM，
∴(GH＋BE)2＋(BE－GH)2＝EF2，即2(DF2＋BE2)＝EF2，
∴EF2＝2BE2＋2DF2.
图2

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